Calculadora da área de um pentágono regular

O que é uma calculadora da área de um pentágono regular?

Uma calculadora da área de um pentágono regular determina a área delimitada por um polígono de cinco lados cujos lados têm todos o mesmo comprimento e cujos ângulos internos são todos iguais a 108°. A única medida necessária é o comprimento do lado — todas as outras dimensões (o apótema, a diagonal, o raio do círculo circunscrito) ficam fixadas pela geometria assim que o lado é conhecido.

Esta ferramenta recebe um único comprimento de lado em qualquer unidade comum e devolve a área na unidade quadrada correspondente. Ao mudar a unidade do lado ou da área, o resultado é reconvertido automaticamente.

Conceitos-chave

• Comprimento do lado (s) — o comprimento de uma das cinco arestas iguais do pentágono.
• Apótema (a) — a distância perpendicular do centro do pentágono ao ponto médio de qualquer lado. Para um pentágono regular, $a = \frac{s}{2 \tan(36°)}$.
• Ângulo interno — cada um dos cinco ângulos internos de um pentágono regular é igual a 108°.
• Proporção áurea — o pentágono regular está famosamente ligado a $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$; a razão entre qualquer diagonal e um lado é igual a $\varphi$.

Como funciona a calculadora?

A área de um pentágono regular depende do quadrado do comprimento do lado multiplicado por uma constante. Essa constante surge da divisão do pentágono em cinco triângulos isósceles congruentes que se encontram no centro, do cálculo da área de cada triângulo e da sua soma.

Fórmula

Uma forma equivalente baseada no apótema, útil quando já se conhece o apótema, é:

onde $P = 5s$ é o perímetro e $a$ é o apótema.

Exemplos resolvidos

Exemplo 1: lado = 10 cm

Exemplo 2: lado = 1

Esta é a constante adimensional: a área de um pentágono regular de lado unitário.

Exemplo 3: lado = 5

Exemplo 4: verificação pelo apótema

Para $s = 10$ cm o apótema é $a = \frac{10}{2 \tan(36°)} \approx 6{,}8819$ cm, logo

que coincide com o Exemplo 1.

Usos práticos

• Arquitetura e design — disposição de pisos, azulejos, gazebos ou janelas pentagonais.
• Engenharia — dimensionamento de secções transversais pentagonais de parafusos, porcas e elementos estruturais.
• Cartografia e planeamento — estimativa da ocupação de terrenos ou edifícios pentagonais (o Pentágono em Arlington é o exemplo mais famoso).
• Matemática e educação — ilustração da proporção áurea, demonstração de que os polígonos regulares têm áreas em forma fechada e comparação com a calculadora da área de um polígono regular para um $n$ geral.

Notas

• O comprimento do lado deve ser positivo para que o resultado seja significativo; um lado igual a zero dá uma área zero.
• As unidades do lado e da área correspondem-se: um lado em metros dá uma área em metros quadrados. Ao mudar os seletores de unidades, o resultado é reconvertido automaticamente.
• Para outros polígonos regulares, consulte a calculadora da área de um hexágono regular e a calculadora da área de um octógono regular.