Calculadora de probabilidade de lançamento de moeda

O que é uma calculadora de probabilidade de lançamento de moeda?

Uma calculadora de probabilidade de lançamento de moeda determina quão provável é um determinado número de caras quando você lança uma moeda várias vezes. Cada lançamento é um ensaio independente com dois resultados possíveis — cara ou coroa — então uma sequência de lançamentos segue a distribuição binomial. A calculadora responde a perguntas como «Qual é a probabilidade de obter exatamente 5 caras em 10 lançamentos?» ou «Qual é a probabilidade de pelo menos 2 caras em 3 lançamentos?».

Funciona tanto para moedas justas quanto viciadas. Você define a probabilidade de cara $p$ com qualquer valor entre 0 e 1, então a mesma ferramenta também cobre moedas carregadas e qualquer outro experimento de sim/não repetido um número fixo de vezes.

Como a calculadora funciona?

Você fornece três dados e escolhe o que calcular:

• Número de lançamentos ($n$) — quantas vezes a moeda é lançada (um inteiro $\ge 1$).
• Número de caras ($k$) — a contagem de caras que lhe interessa (um inteiro com $0 \le k \le n$).
• Probabilidade de cara ($p$) — a chance de cara em um único lançamento, entre 0 e 1 (0,5 para uma moeda justa).

A opção Calcular seleciona uma de três perguntas:

• Exatamente k caras — a probabilidade de obter precisamente $k$ caras.
• No máximo k caras — a probabilidade acumulada de obter $k$ caras ou menos.
• Pelo menos k caras — a probabilidade acumulada de obter $k$ caras ou mais.

O resultado é mostrado como uma probabilidade entre 0 e 1 (arredondada para seis casas decimais) e também como porcentagem.

Fórmulas

A probabilidade de exatamente $k$ caras em $n$ lançamentos é a função de massa de probabilidade binomial:

onde o coeficiente binomial é

Os casos acumulados somam os termos individuais:

Exemplos resolvidos

1. Exatamente 5 caras em 10 lançamentos justos. Com $n = 10$, $k = 5$, $p = 0,5$: $\binom{10}{5} = 252$, então $P = 252 \times 0{,}5^{5} \times 0{,}5^{5} = 252 / 1024 \approx 0{,}246094$ (cerca de 24,61%).

2. Exatamente 1 cara em 2 lançamentos justos. Com $n = 2$, $k = 1$, $p = 0,5$: $\binom{2}{1} = 2$, então $P = 2 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}5$ (50%).

3. Pelo menos 2 caras em 3 lançamentos justos. Com $n = 3$, $k = 2$, $p = 0,5$: $P(X \ge 2) = P(2) + P(3) = 0{,}375 + 0{,}125 = 0{,}5$ (50%).

Notas práticas

• Com $k = 0$ e a opção «pelo menos» sempre se obtém 1, e com $k = n$ e a opção «no máximo» sempre se obtém 1, porque qualquer resultado satisfaz a condição.
• Para uma moeda viciada, altere $p$. Por exemplo, $n = 5$, $k = 2$, $p = 0,3$ dá $\binom{5}{2} \times 0{,}3^{2} \times 0{,}7^{3} = 0{,}3087$.
• O modelo binomial pressupõe que os lançamentos são independentes e que $p$ permanece igual a cada lançamento.

Para explorar ideias relacionadas, veja a calculadora do teorema de Bayes para atualizar probabilidades com evidências, ou a calculadora de média para resumir dados.