Перевести восьмеричные числа в двоичную систему счисления

Что такое двоичная система счисления?

Двоичная система — это позиционная система счисления, которая использует только две цифры: 0 и 1. Каждая цифра в двоичном числе представляет степень двойки, начиная с крайнего правого бита, который равен $2^0$. Эта система лежит в основе современной вычислительной техники, так как она идеально совпадает с логикой ВКЛ/ВЫКЛ в электронных схемах.

Например, двоичное число $1011_2$ можно интерпретировать как:

Что такое восьмеричная система счисления?

Восьмеричная система (основание 8) использует цифры от 0 до 7. Она иногда используется в вычислительной технике как более компактный способ представления двоичных чисел, поскольку каждая цифра в восьмеричном числе точно соответствует трем двоичным битам. Это делает восьмеричную систему особенно удобной при работе с данными, закодированными в двоичной системе.

Пример: $765_8$ обозначает:

Формула для перевода

Самый простой способ преобразовать восьмеричное число в двоичное — заменить каждую восьмеричную цифру ее эквивалентом в 3-битной двоичной системе.

Вот таблица соответствия каждой восьмеричной цифры двоичной:

Но можно использовать и двухшаговое преобразование: сначала преобразуйте восьмеричное число в десятичное, затем десятичное число в двоичное.

Пример преобразования

Давайте преобразуем восьмеричное число 65₈ в двоичное.

Шаг 1: Переведм каждую восьмеричную цифру в ее эквивалент в 3-битной двоичной системе.

Шаг 2: Объедините двоичные группы.

Таким образом, восьмеричное число 65 в двоичной форме равно 110101.

Проверка

Для проверки правильности давайте сначала преобразуем восьмеричное число в десятичное, затем десятичное число в двоичное.

Восьмеричное в десятичное:

Десятичное в двоичное:

Чтение остатков снизу вверх дает двоичный результат:

Интересный исторический факт

Ранние компьютеры, такие как PDP-8 (разработанный Digital Equipment Corporation), использовали восьмеричную систему как основную систему числового представления. Это было связано с тем, что их машинные слова были длиной 12 бит, что легко представлялось четырьмя восьмеричными цифрами. Это упрощало чтение и ручной ввод двоичных инструкций.

Заметки

• Каждая восьмеричная цифра точно соответствует трем двоичным цифрам.
• Ведущие нули можно опускать без изменения числового значения.
• Всегда читайте двоичные группы слева направо в том же порядке, что и восьмеричные цифры.

Часто задаваемые вопросы

Как перевести восьмеричное число 123₈ в двоичную систему счисления?

Преобразуйте каждую цифру отдельно: 1 → 001, 2 → 010, 3 → 011
Объедините: $001010011_2$ или $1010011_2$ после удаления ведущих нулей.

Сколько двоичных бит необходимо для представления одной восьмеричной цифры?

Каждая восьмеричная цифра соответствует трем двоичным битам.

Переведем 123 из восьмеричной в двоичную систему счисления

Давайте преобразуем восьмеричное число 123₈ в десятичное.

Восьмеричное в десятичное:

Десятичное в двоичное:

Таким образом, $123_8 = 1010011_2$.

Можно ли легко преобразовать двоичные числа обратно в восьмеричные?

Да. Группируйте двоичные цифры в наборы по три бита справа налево и заменяйте каждый набор соответствующей восьмеричной цифрой.

Почему компьютеры используют двоичную, а не восьмеричную систему?

Компьютеры используют двоичную систему, потому что она напрямую соответствует физическим состояниям (ВКЛ или ВЫКЛ). Восьмеричная система используется только как удобочитаемая сокращенная запись для двоичных данных.