Калькулятор длины дуги

Что такое калькулятор длины дуги?

Калькулятор длины дуги находит длину криволинейного отрезка вдоль границы круга. Дуга — это часть окружности, расположенная между двумя точками круга, а её длина зависит от двух величин: расстояния от каждой точки до центра (радиуса) и величины угла в центре между ними (центрального угла).

Этот калькулятор работает в трёх направлениях. Если известны радиус и угол, он возвращает длину дуги. Если известна длина дуги и одна из двух других величин, он находит недостающее значение. Угол можно вводить в градусах или радианах, а радиус и длину дуги — в любых распространённых единицах длины.

Основные понятия

• Радиус (r) — расстояние от центра круга до любой точки на его границе.
• Центральный угол (θ) — угол, образованный в центре круга двумя радиусами, проведёнными к концам дуги.
• Длина дуги (L) — расстояние, пройденное вдоль кривой от одного конца дуги до другого.
• Радиан — естественная единица измерения углов в этой формуле. Один радиан — это угол, при котором длина дуги равна радиусу. Полный круг составляет $2\pi$ радиан, или 360 градусов.

Как работает калькулятор?

Связь между длиной дуги, радиусом и центральным углом линейна, когда угол выражен в радианах. Калькулятор внутренне переводит угол в радианы, а затем применяет формулу в нужном пользователю направлении.

Формулы

Если угол задан в радианах:

$$L = r \cdot \theta$$

Если угол задан в градусах:

$$L = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r = \frac{\pi r \theta}{180}$$

Преобразование для нахождения радиуса:

$$r = \frac{L}{\theta_{\text{rad}}}$$

Преобразование для нахождения угла:

$$\theta_{\text{rad}} = \frac{L}{r}, \qquad \theta_{\text{deg}} = \frac{L}{r} \cdot \frac{180}{\pi}$$

Примеры вычисления

Пример 1: длина дуги по радиусу и углу

Круг имеет радиус 10 см, и нужно найти длину дуги, опирающейся на центральный угол 90°.

$$L = \frac{\pi \cdot 10 \cdot 90}{180} = 5\pi \approx 15.708 \text{ см}$$

Пример 2: длина дуги по радиусу и углу в радианах

При радиусе 5 м и центральном угле 2 радиана:

$$L = 5 \cdot 2 = 10 \text{ м}$$

Пример 3: радиус по длине дуги и углу

Дуга длиной 15.708 см опирается на угол 90°. Радиус равен:

$$r = \frac{15.708}{\frac{\pi}{2}} \approx 10 \text{ см}$$

Пример 4: угол по длине дуги и радиусу

Дуга длиной 15.708 см на круге радиусом 10 см соответствует:

$$\theta_{\text{rad}} = \frac{15.708}{10} = 1.5708 \text{ рад} = 90°$$

Пример 5: полный оборот

При радиусе 1 и угле 360° длина дуги равна полной длине окружности круга: $L = 2\pi \cdot 1 \approx 6.2832$.

Практическое применение

• Инженерия и производство — разметка криволинейных путей, труб, ремней или шкивов, где длина изогнутого материала должна соответствовать заданному углу.
• Строительство и архитектура — измерение криволинейных краёв арок, куполов или участков транспортных кругов.
• Геодезия и картография — расчёт расстояний вдоль параллелей или криволинейных границ.
• Шитьё и построение выкроек — расчёт количества ткани, необходимой для круглых или расклёшенных деталей (это тот же расчёт, что используется в калькуляторе площади сектора круга).
• Спорт — определение расстояния, которое спортсмен пробегает по криволинейной части дорожки.

Замечания

• Радиус и угол должны быть положительными, чтобы результат имел смысл.
• При угле 0° длина дуги равна 0 — два конца совпадают.
• При нахождении радиуса по длине дуги и углу угол не может быть равен 0; при нахождении угла радиус не может быть равен 0.
• Единицы измерения радиуса и длины дуги совпадают: радиус в метрах даёт длину дуги в метрах. При переключении единиц измерения результат автоматически пересчитывается.