Калькулятор шестиугольника

Что такое калькулятор шестиугольника?

Калькулятор шестиугольника — это универсальный инструмент для правильного шестиугольника, шестисторонней фигуры с равными сторонами и равными углами. Введите любое из его измерений, и сразу появятся все остальные величины: длина стороны, площадь, периметр, длинная и короткая диагонали, радиус описанной окружности и радиус вписанной окружности. Он полезен студентам, решающим задачи по геометрии, мастерам, вырезающим плитку или болты, и всем, кто работает с сотовым узором, где правильный шестиугольник встречается снова и снова, потому что он заполняет плоскость без зазоров.

Свойства правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник имеет шесть равных сторон и шесть внутренних углов по 120 градусов каждый. Его можно разбить на шесть одинаковых равносторонних треугольников, сходящихся в центре, поэтому его радиус описанной окружности — расстояние от центра до угла — в точности равен длине стороны. У шестиугольника есть два вида диагоналей: три длинные диагонали, проходящие через центр и соединяющие противоположные углы, и шесть коротких диагоналей, перескакивающих через один угол. Длинная диагональ вдвое больше стороны, а короткая диагональ равна стороне, умноженной на квадратный корень из трёх.

Как работает калькулятор?

Введите значение в любое поле, и калькулятор сначала восстановит длину стороны по нему, а затем заполнит все остальные свойства. Так что вы можете начать со стороны, площади, периметра, любой диагонали, радиуса описанной или вписанной окружности и всегда получите полное описание шестиугольника. Каждое поле длины принимает разные единицы, и преобразования между ними происходят автоматически.

Формулы

Со стороной $a$ площадь правильного шестиугольника равна:

Периметр в шесть раз больше стороны:

Длинная диагональ (от угла до противоположного угла) и короткая диагональ (от угла через один) равны:

Радиус описанной окружности $R$ (от центра до угла) равен стороне, а радиус вписанной окружности $r$ (от центра до середины стороны, также называемый апофемой) равен:

где $A$ — площадь, $P$ — периметр, $D$ и $d$ — длинная и короткая диагонали, $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности, а $a$ — длина стороны.

Примеры

1. Правильный шестиугольник со стороной 10 см:

2. Работая в обратную сторону от периметра 60 см, получаем сторону $60 / 6 = 10$ см, что воспроизводит все значения выше.

Практические замечания

• Поскольку радиус описанной окружности равен стороне, правильный шестиугольник идеально вписывается в окружность, радиус которой равен длине стороны, — это удобно при черчении его циркулем.
• Радиус вписанной окружности также называют апофемой; это радиус наибольшей окружности, помещающейся внутри шестиугольника.
• Для фигур с другим числом сторон калькулятор площади правильного многоугольника и калькулятор периметра правильного многоугольника обобщают эти формулы.

Частые вопросы

Как найти площадь правильного шестиугольника?

Возведите длину стороны в квадрат и умножьте на $\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Для стороны 10 площадь равна $\frac{3\sqrt{3}}{2}\times 100 \approx 259.81$.

В чём разница между длинной и короткой диагоналями?

Длинная диагональ соединяет два противоположных угла и проходит через центр, поэтому она равна $2a$. Короткая диагональ соединяет два угла, разделённых одной вершиной, и равна $\sqrt{3}\,a$, что короче.

Почему радиус описанной окружности равен стороне?

Правильный шестиугольник разбивается на шесть равносторонних треугольников, сходящихся в центре. У каждого треугольника расстояние от центра до угла и сторона являются двумя его равными рёбрами, поэтому радиус описанной окружности в точности равен длине стороны.

Что такое апофема шестиугольника?

Апофема — это радиус вписанной окружности, расстояние от центра до середины стороны. Для правильного шестиугольника она равна $\frac{\sqrt{3}}{2}\,a$, примерно 0.866 длины стороны.