Калькулятор уравнения прямой по двум точкам

Что такое уравнение прямой по двум точкам?

Любые две различные точки, не расположенные одна над другой по вертикали, определяют ровно одну прямую. Этот калькулятор берёт координаты этих двух точек, $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, и возвращает уравнение прямой в форме с угловым коэффициентом и свободным членом:

где $m$ — угловой коэффициент (насколько крута прямая), а $b$ — точка пересечения с осью y (где прямая пересекает вертикальную ось). Калькулятор сообщает угловой коэффициент, точку пересечения с осью y и собранное уравнение.

Как это работает?

Расчёт происходит в два шага.

Шаг 1 — угловой коэффициент. Угловой коэффициент — это отношение вертикального изменения к горизонтальному изменению между двумя точками:

Шаг 2 — точка пересечения с осью y. Как только угловой коэффициент известен, подставьте любую точку обратно в $y = mx + b$ и решите относительно $b$:

Имея $m$ и $b$, уравнение — это просто $y = mx + b$.

Разобранные примеры

Пример 1: прямая через начало координат

Для точек $(0, 0)$ и $(2, 4)$:

Уравнение — $y = 2x$. Поскольку точка пересечения с осью y равна нулю, прямая проходит через начало координат.

Пример 2: положительный угловой коэффициент с отрицательным свободным членом

Для точек $(1, 1)$ и $(3, 7)$:

Уравнение — $y = 3x - 2$. Прямая пересекает ось y на две единицы ниже начала координат.

Пример 3: горизонтальная прямая

Для точек $(1, 2)$ и $(5, 2)$:

Уравнение — $y = 0x + 2$, проще записываемое как $y = 2$. Нулевой угловой коэффициент означает, что прямая плоская.

А что насчёт вертикальных прямых?

Если две точки имеют одинаковую координату x ($x_1 = x_2$), горизонтальное приращение $x_2 - x_1$ равно нулю, и угловой коэффициент не определён — нельзя делить на ноль. Такая прямая вертикальна, а её уравнение — $x = x_1$, которое нельзя записать в форме $y = mx + b$. В этом случае калькулятор оставляет угловой коэффициент, точку пересечения с осью y и уравнение пустыми.

Примечания

• Один только угловой коэффициент говорит вам о направлении прямой; сочетайте этот инструмент с калькулятором углового коэффициента, если это всё, что вам нужно.
• Порядок двух точек не имеет значения. Перемена их местами меняет знак и числителя, и знаменателя углового коэффициента, оставляя $m$ неизменным, и точка пересечения с осью y получается той же.
• Калькулятор середины отрезка находит точку на полпути между двумя координатами, которая всегда лежит на этой же прямой.

Часто задаваемые вопросы

Каково уравнение прямой, проходящей через (1, 1) и (3, 7)?

Угловой коэффициент — $3$, а точка пересечения с осью y — $-2$, поэтому уравнение — $y = 3x - 2$.

Как найти точку пересечения с осью y по двум точкам?

Сначала вычислите угловой коэффициент $m$, затем подставьте одну точку в $b = y_1 - m x_1$. Для $(1,1)$ с $m = 3$ это даёт $b = 1 - 3 = -2$.

Почему нет уравнения для двух вертикально расположенных точек?

Когда обе точки имеют одинаковую координату x, прямая вертикальна, её угловой коэффициент не определён, и её нельзя выразить как $y = mx + b$. Вместо этого её уравнение — $x = x_1$.