Калькулятор квадратного уравнения

Что такое калькулятор квадратного уравнения?

Калькулятор квадратного уравнения решает квадратное уравнение вида $a x^2 + b x + c = 0$ и находит его действительные корни. Вы вводите три коэффициента — старший коэффициент $a$, линейный коэффициент $b$ и свободный член $c$ — и калькулятор возвращает дискриминант вместе с двумя действительными решениями $x_1$ и $x_2$, каждое из которых округлено до четырёх знаков после запятой.

Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение второй степени, то есть наибольшая степень неизвестного равна двум. Пока $a \neq 0$, уравнение описывает параболу, и его действительные корни — это в точности те точки, где эта парабола пересекает горизонтальную ось.

Как это работает?

Корни находятся по формуле квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Выражение под квадратным корнем, $b^2 - 4ac$, называется дискриминантом и обычно записывается как $\Delta$:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Дискриминант сообщает, сколько действительных корней имеет уравнение, ещё до того, как вы их вычислите:

• Если $\Delta > 0$, существуют два различных действительных корня.
• Если $\Delta = 0$, существует один кратный действительный корень (оба решения совпадают).
• Если $\Delta < 0$, действительных корней нет — решения образуют комплексно-сопряжённую пару, поэтому калькулятор оставляет поля корней пустыми.

Калькулятор также требует $a \neq 0$. Когда $a = 0$, уравнение перестаёт быть квадратным и становится линейным, поэтому корни квадратного уравнения не выводятся.

Примеры с решением

Пример 1 — два корня. Решите $x^2 - 3x + 2 = 0$, то есть $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$.

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

Это даёт $x_1 = 2$ и $x_2 = 1$.

Пример 2 — кратный корень. Решите $x^2 + 2x + 1 = 0$, то есть $a = 1$, $b = 2$, $c = 1$.

$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2} = -1$

Оба корня равны $-1$ — единственной точке, где парабола касается оси.

Пример 3 — нет действительных корней. Решите $x^2 + 1 = 0$, то есть $a = 1$, $b = 0$, $c = 1$.

$\Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4$

Поскольку $\Delta < 0$, действительных решений нет, поэтому калькулятор возвращает только дискриминант и оставляет поля корней пустыми.

Практические заметки

Знак имеет значение: вводите $b$ и $c$ ровно так, как они выглядят, включая знак минус, поэтому в первом примере наберите -3 для $b$. Результаты округляются до четырёх знаков после запятой, чего обычно с избытком хватает для построения графиков, физики и инженерных расчётов, но это означает, что иррациональные корни, такие как $\sqrt{2}$, отображаются в виде их десятичного приближения.

Формула квадратного уравнения тесно связана с другими инструментами алгебры. Получив корни, вы можете восстановить уравнение в разложенном на множители виде $a(x - x_1)(x - x_2)$, что естественно связано с калькулятором делителей. Шаг с квадратным корнем в основе формулы обобщает идею, лежащую в основе калькулятора кубического корня, а члены в квадрате связаны с возведением чисел в степень с помощью калькулятора степеней.