Калькулятор площади правильного пятиугольника

Что такое калькулятор площади правильного пятиугольника?

Калькулятор площади правильного пятиугольника находит площадь, ограниченную пятиугольным многоугольником, у которого все стороны равны, а внутренние углы равны 108°. Единственное измерение, которое необходимо ввести, — это длина стороны: любая другая величина (апофема, диагональ, радиус описанной окружности) определяется геометрией, как только известна сторона.

Этот инструмент принимает одну длину стороны в любой распространённой единице и возвращает площадь в соответствующей квадратной единице. При смене единицы стороны или площади результат пересчитывается автоматически.

Ключевые понятия

• Длина стороны (s) — длина одной из пяти равных сторон пятиугольника.
• Апофема (a) — перпендикулярное расстояние от центра пятиугольника до середины любой стороны. Для правильного пятиугольника $a = \frac{s}{2 \tan(36°)}$.
• Внутренний угол — каждый из пяти внутренних углов правильного пятиугольника равен 108°.
• Золотое сечение — правильный пятиугольник знаменит своей связью с $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$; отношение любой диагонали к стороне равно $\varphi$.

Как работает калькулятор?

Площадь правильного пятиугольника зависит от квадрата длины стороны, умноженного на константу. Эта константа получается, если разбить пятиугольник на пять конгруэнтных равнобедренных треугольников, сходящихся в центре, вычислить площадь каждого и сложить их.

Формула

Эквивалентная форма через апофему, полезная, если апофема уже известна:

где $P = 5s$ — периметр, а $a$ — апофема.

Примеры расчётов

Пример 1: сторона = 10 см

Пример 2: сторона = 1

Это безразмерная константа: площадь правильного пятиугольника с единичной стороной.

Пример 3: сторона = 5

Пример 4: проверка через апофему

При $s = 10$ см апофема равна $a = \frac{10}{2 \tan(36°)} \approx 6{,}8819$ см, поэтому

что совпадает с Примером 1.

Практические применения

• Архитектура и дизайн — раскладка пятиугольных полов, плитки, беседок или окон.
• Инженерия — расчёт пятиугольных поперечных сечений болтов, гаек и несущих элементов.
• Картография и планирование — оценка площади пятиугольных участков или зданий (Пентагон в Арлингтоне — самый известный пример).
• Математика и образование — иллюстрация золотого сечения, демонстрация того, что правильные многоугольники имеют замкнутые формулы для площади, и сравнение с калькулятором площади правильного многоугольника для произвольного $n$.

Примечания

• Длина стороны должна быть положительной, чтобы результат имел смысл; нулевая сторона даёт нулевую площадь.
• Единицы стороны и площади согласованы: сторона в метрах даёт площадь в квадратных метрах. При смене единиц результат пересчитывается автоматически.
• Для других правильных многоугольников см. калькулятор площади правильного шестиугольника и калькулятор площади правильного восьмиугольника.