Калькулятор уравнения с угловым коэффициентом

Что такое калькулятор уравнения с угловым коэффициентом?

Калькулятор уравнения с угловым коэффициентом строит уравнение прямой по двум точкам, через которые она проходит. Он возвращает прямую, записанную в виде уравнения с угловым коэффициентом $y = mx + b$ — самой распространённой записи прямой в алгебре, — а также угловой коэффициент $m$ и точку пересечения с осью y $b$ по отдельности.

Две различные точки полностью задают прямую, поэтому по ним этот калькулятор восстанавливает оба числа, определяющие это уравнение: насколько круто наклонена прямая и где она пересекает вертикальную ось.

Ключевые понятия

• Точка $(x, y)$ — упорядоченная пара, задающая положение на координатной плоскости.
• Угловой коэффициент (m) — насколько круто наклонена прямая, отношение вертикального изменения к горизонтальному между двумя точками.
• Точка пересечения с осью y (b) — значение $y$ там, где прямая пересекает вертикальную ось, то есть при $x = 0$.
• Уравнение с угловым коэффициентом — $y = mx + b$, прямая, записанная так, что её угловой коэффициент и точка пересечения считываются напрямую.

Как работает калькулятор?

Сначала найдите угловой коэффициент по двум точкам $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ как отношение подъёма к горизонтальному смещению:

Затем используйте любую из точек вместе с угловым коэффициентом, чтобы восстановить точку пересечения с осью y, выразив $b$ из $y = mx + b$:

Наконец, прямая записывается в виде уравнения с угловым коэффициентом:

Введите координаты двух точек, и калькулятор сразу вернёт $m$, $b$ и полное уравнение. Если $x_1 = x_2$, обе точки лежат на вертикальной прямой, у которой нет определённого углового коэффициента и которую нельзя записать в виде $y = mx + b$ — в этом случае калькулятор оставляет результаты пустыми.

Разобранные примеры

Пример 1: прямая через начало координат

Для точек $(0, 0)$ и $(2, 4)$:

Уравнение — $y = 2x$. У прямой, проходящей через начало координат, точка пересечения с осью y равна $0$.

Пример 2: положительная точка пересечения

Для точек $(0, 3)$ и $(2, 7)$:

Уравнение — $y = 2x + 3$. Прямая пересекает вертикальную ось в точке $y = 3$.

Пример 3: отрицательный угловой коэффициент

Для точек $(1, 5)$ и $(3, 1)$:

Уравнение — $y = -2x + 7$. Прямая опускается на две единицы на каждую единицу вправо.

Пример 4: горизонтальная прямая

Для точек $(1, 2)$ и $(4, 2)$:

Уравнение — $y = 0x + 2$, то есть $y = 2$. У обеих точек одинаковый $y$, поэтому прямая горизонтальна.

Практическое применение

• Алгебра и построение графиков — напрямую считать угловой коэффициент и точку пересечения, чтобы начертить прямую вручную.
• Статистика — записать подобранную линию регрессии в виде $y = mx + b$, где угловой коэффициент — это среднее изменение $y$ на единицу изменения $x$.
• Физика — превратить две измеренные точки данных в линейную модель, например положение в зависимости от времени при постоянной скорости.
• Задачи геометрии — получив угловой коэффициент с помощью калькулятора углового коэффициента или точку с помощью калькулятора середины отрезка, этот калькулятор даёт полное уравнение прямой; для одной точки и известного углового коэффициента используйте калькулятор уравнения через точку и наклон.

Примечания

• Порядок двух точек не имеет значения: перестановка $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ меняет знак как подъёма, так и горизонтального смещения, оставляя угловой коэффициент неизменным.
• У вертикальной прямой нет уравнения с угловым коэффициентом. Её уравнение — просто $x = x_1$, и калькулятор оставляет результаты пустыми.
• У горизонтальной прямой угловой коэффициент равен $0$, поэтому $b = y_1$ и уравнение сводится к $y = b$.
• Две точки должны быть различны. Если обе точки совпадают, через них проходит бесконечно много прямых и прямая не определена.