Калькулятор объема треугольной пирамиды

Что такое треугольная пирамида?

Треугольная пирамида, также известная как тетраэдр, представляет собой трёхмерную геометрическую фигуру с треугольным основанием и тремя треугольными гранями, сходящимися в одной вершине, не лежащей в плоскости основания. Треугольная пирамида является типом многогранника, и в её составе четыре треугольные грани, шесть ребер и четыре вершины.

Формула для объёма треугольной пирамиды

Объём $V$ треугольной пирамиды можно вычислить различными методами в зависимости от известных параметров пирамиды:

1. Объём по площади основания и высоте

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times H$ Где:

• $S_{\text{осн}}$ — площадь треугольного основания
• $H$ — высота пирамиды от основания до вершины

2. Объём по известным трем сторонам основания

Когда известны три стороны $a$, $b$ и $c$ треугольного основания и $H$, высота пирамиды, площадь основания вычисляется с помощью формулы Герона:

1. Вычислите полупериметр $s$: $s = \frac{a + b + c}{2}$
2. Используйте формулу Герона для площади основания $S_{\text{осн}}$: $S_{\text{осн}} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
3. Подставьте $S_{\text{осн}}$ в формулу объёма: $V = \frac{1}{3} \times \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \times H$

3. Объём при известных двух сторонах и угле между ними

Когда известны две стороны $a$ и $b$ основания и угол между ними $\alpha$: $S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(\alpha)$ Затем используйте эту площадь в формуле объёма.

4. Объём при известной одной стороне и двух прилежащих углах

Когда известны сторона $b$ основания и два прилежащих угла $\alpha$ и $\beta$, можно использовать синус для нахождения площади основания: $S_{\text{осн}} = \frac{b^2 \times \sin(\alpha) \times \sin(\beta)}{2 \times \sin(\alpha + \beta)}$ Используйте это в формуле объёма.

5. Объём при известной высоте основания и стороне

Если известны высота основания $h_{\text{осн}}$ и сторона $b$ треугольного основания: $S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times b \times h_{\text{осн}}$ Включите в ту же формулу объёма.

Понимание правильной и неправильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида (тетраэдр)

Правильный тетраэдр — это треугольная пирамида, у которой все рёбра равны, а грани являются правильными треугольниками. Если длина ребра равна $a$, объём вычисляется по формуле: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times a^3$

Примечание: В некоторых источниках «правильной треугольной пирамидой» называют пирамиду с правильным треугольником в основании и равными боковыми рёбрами, но не обязательно с равными рёбрами основания и боковыми рёбрами. В таком случае формула объёма будет зависеть от высоты пирамиды и площади основания.

Неправильная треугольная пирамида

Неправильная треугольная пирамида имеет стороны разной длины и различие в углах или рёбрах. Вычисление объёма зависит от известных размеров, например, различных длин сторон и соответствующих высот.

Если известны координаты вершин треугольной пирамиды

Если известны координаты вершин треугольной пирамиды, возможно использовать альтернативный метод вычисления, используя калькулятор объема тетраэдра. Определив координаты вершин в трёхмерном пространстве, становится возможным вычисление через векторную математику. Этот инструмент полезен, когда пирамида не соответствует чистым измерениям высоты и площади основания.

Примеры расчёта объёма

Пример 1: Известная площадь основания и высота

Давайте вычислим объём для треугольной площади основания $6 \, \text{см}^2$ и высоты пирамиды $9 \, \text{см}$. $V = \frac{1}{3} \times 6 \times 9 = 18 \, \text{см}^3$ Объем треугольной пирамиды равен 18 см³.

Пример 2: Объём по известным трём сторонам

Даны длины сторон $a = 3 \, \text{см}$, $b = 4 \, \text{см}$, $c = 5 \, \text{см}$ и высота пирамиды $10 \, \text{см}$:

1. Вычисляем полупериметр $s = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6$
2. Площадь основания $S_{\text{осн}} = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6 \, \text{см}^2$
3. Объём $V = \frac{1}{3} \times 6 \times 10 = 20 \, \text{см}^3$

Пример 3: Известные две стороны и угол между ними

Для треугольного основания с $a = 5 \, \text{см}$, $b = 6 \, \text{см}$, углом $\alpha = 60^\circ$ и высотой пирамиды $8 \, \text{см}$:

1. Площадь основания $S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \times 5 \times 6 \times \sin(60^\circ) = \frac{15\sqrt{3}}{2} \, \text{см}^2$
2. Объём $V = \frac{1}{3} \times \frac{15\sqrt{3}}{2} \times 8 = 20\sqrt{3} \, \text{см}^3$

Часто задаваемые вопросы

Чему равен объём треугольной пирамиды, если известна площадь основания и высота?

Объём треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.

Сколько треугольных граней у пирамиды?

Треугольная пирамида состоит из четырёх треугольных граней: основания и трёх боковых граней.

Может ли треугольная пирамида иметь горизонтальное основание?

Да, основание треугольной пирамиды часто изображено горизонтально на схемах, хотя на практике оно может быть ориентировано в любом положении относительно другой опорной плоскости.

В чём разница между треугольной пирамидой и тетраэдром?

Тетраэдр — это многогранник с четырьмя треугольными гранями, который может быть как правильным (все рёбра и углы равны), так и неправильным. Треугольная пирамида — это частный случай тетраэдра, где одна грань считается основанием, а остальные три — боковыми. Таким образом, все треугольные пирамиды являются тетраэдрами, но не все тетраэдры обязательно имеют выделенное основание.

Чему равен объем правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 3?

Для правильного тетраэдра или правильной треугольной пирамиды (где все рёбра равны) объём вычисляется по формуле: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times a^3$ Подставляя $a = 3$: $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 3^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 27 = \frac{27\sqrt{2}}{12} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

Объем правильной треугольной пирамиды равен 3,182 см³.

Примечание: Если под “правильной треугольной пирамидой” подразумевается пирамида с правильным треугольником в основании, но с разной длиной рёбер, то для решения требуется дополнительная информация (например, высота пирамиды). В данном случае предполагается, что речь идет о правильном тетраэдре.