Калькулятор вероятности подбрасывания монеты

Что такое калькулятор вероятности подбрасывания монеты?

Калькулятор вероятности подбрасывания монеты определяет, насколько вероятно выпадение определённого числа орлов, когда вы бросаете монету несколько раз. Каждый бросок — это независимое испытание с двумя возможными исходами (орёл или решка), поэтому серия бросков подчиняется биномиальному распределению. Калькулятор отвечает на вопросы вроде «Какова вероятность получить ровно 5 орлов за 10 бросков?» или «Какова вероятность хотя бы 2 орлов за 3 броска?».

Он работает как для честных, так и для нечестных монет. Вы задаёте вероятность орла $p$ любым значением от 0 до 1, поэтому тот же инструмент подходит и для утяжелённых монет, и для любого другого эксперимента «да/нет», повторяемого фиксированное число раз.

Как работает калькулятор?

Вы вводите три значения и выбираете, что вычислять:

• Число бросков ($n$) — сколько раз подбрасывают монету (целое число $\ge 1$).
• Число орлов ($k$) — количество орлов, которое вас интересует (целое число с $0 \le k \le n$).
• Вероятность орла ($p$) — шанс орла за один бросок, от 0 до 1 (0,5 для честной монеты).

Параметр Вычислить выбирает один из трёх вопросов:

• Ровно k орлов — вероятность получить именно $k$ орлов.
• Не более k орлов — суммарная вероятность получить $k$ или меньше орлов.
• Не менее k орлов — суммарная вероятность получить $k$ или больше орлов.

Результат показывается как вероятность от 0 до 1 (округлённая до шести знаков после запятой), а также в процентах.

Формулы

Вероятность ровно $k$ орлов за $n$ бросков — это функция вероятности биномиального распределения:

где биномиальный коэффициент равен

Кумулятивные случаи суммируют отдельные слагаемые:

Примеры расчётов

1. Ровно 5 орлов за 10 честных бросков. При $n = 10$, $k = 5$, $p = 0,5$: $\binom{10}{5} = 252$, поэтому $P = 252 \times 0{,}5^{5} \times 0{,}5^{5} = 252 / 1024 \approx 0{,}246094$ (около 24,61%).

2. Ровно 1 орёл за 2 честных броска. При $n = 2$, $k = 1$, $p = 0,5$: $\binom{2}{1} = 2$, поэтому $P = 2 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}5$ (50%).

3. Не менее 2 орлов за 3 честных броска. При $n = 3$, $k = 2$, $p = 0,5$: $P(X \ge 2) = P(2) + P(3) = 0{,}375 + 0{,}125 = 0{,}5$ (50%).

Практические замечания

• При $k = 0$ с вариантом «не менее» всегда получается 1, а при $k = n$ с вариантом «не более» всегда получается 1, потому что любой исход удовлетворяет условию.
• Для нечестной монеты измените $p$. Например, $n = 5$, $k = 2$, $p = 0,3$ даёт $\binom{5}{2} \times 0{,}3^{2} \times 0{,}7^{3} = 0{,}3087$.
• Биномиальная модель предполагает, что броски независимы и что $p$ остаётся одинаковой при каждом подбрасывании.

Чтобы изучить смежные идеи, см. калькулятор теоремы Байеса для обновления вероятностей по данным или калькулятор среднего для обобщения данных.