Калькулятор доверительного интервала
Что такое доверительный интервал?
Доверительный интервал — это диапазон правдоподобных значений неизвестного параметра генеральной совокупности, в данном случае среднего. Вместо одной точечной оценки он выражает неопределённость этой оценки через нижнюю и верхнюю границы.
95%-й доверительный интервал, например, означает, что при многократном повторении той же процедуры выборки около 95% построенных интервалов содержали бы истинное среднее. Ширина интервала зависит от того, насколько разбросаны данные, сколько у вас наблюдений и насколько вы хотите быть уверены.
Этот калькулятор использует z-приближение (нормальное), которое уместно, когда стандартное отклонение генеральной совокупности известно или выборка достаточно велика для применения центральной предельной теоремы.
Как работает калькулятор?
Вы вводите четыре величины:
- Выборочное среднее (x̄) — среднее ваших наблюдений.
- Стандартное отклонение (σ) — разброс данных; должно быть положительным.
- Объём выборки (n) — число наблюдений; целое число не менее 1.
- Уровень доверия — насколько вы хотите быть уверены: 90%, 95% или 99%.
Каждому уровню доверия соответствует критическое z-значение:
| Уровень доверия | z-значение |
|---|---|
| 90% | 1,645 |
| 95% | 1,960 |
| 99% | 2,576 |
Калькулятор возвращает погрешность, нижнюю границу и верхнюю границу.
Формулы
Стандартная ошибка среднего равна:
Погрешность масштабирует стандартную ошибку на критическое z-значение:
Тогда доверительный интервал для среднего:
Разобранные примеры
Пример 1: x̄ = 100, σ = 15, n = 36, 95%
Стандартная ошибка:
При z = 1,96 погрешность равна:
Значит, 95%-й доверительный интервал — [95,1, 104,9].
Пример 2: x̄ = 50, σ = 10, n = 25, 99%
Стандартная ошибка:
При z = 2,576 погрешность равна:
Значит, 99%-й доверительный интервал — [44,848, 55,152].
Практические замечания
- Более высокий уровень доверия расширяет интервал: большая уверенность в том, что истинное среднее охвачено, требует большего диапазона.
- Больший объём выборки сужает интервал, так как стандартная ошибка убывает как √n.
- z-приближение предполагает, что выборочное распределение среднего приблизительно нормально. Для малых выборок с неизвестным стандартным отклонением t-интервал обычно точнее.
- Погрешность симметрична, поэтому интервал всегда центрирован относительно выборочного среднего.