Калькулятор p-значения

Что такое p-значение?

p-значение количественно определяет вероятность получения результатов, столь же экстремальных, как и те, что наблюдались в исследовании, при условии, что нулевая гипотеза (H₀) верна. Оно отвечает на вопрос: “Если нулевая гипотеза верна, насколько вероятны мои данные?”

Ключевые определения

• Нулевая гипотеза (H₀): Стандартное предположение (например, “эффект отсутствует”).
• Альтернативная гипотеза (H₁): Утверждение, которое проверяется (например, “эффект существует”).
• Тестовая статистика: Стандартизированное значение (например, Z-оценка, t-оценка), рассчитанное на основе выборки.

Исторический контекст

p-значение было популяризировано Рональдом Фишером в 1920-х годах. Фишер предложил порог 0,05 для статистической значимости, который до сих пор обсуждается.

Формула

p-значение зависит от тестовой статистики и типа проверяемой гипотезы:

Общая формула

где $S$ — тестовая статистика, а $x$ — её наблюдаемое значение.

Z-тест

Для Z-теста с Z-оценкой $Z$:

• Левосторонний: $\Phi(Z)$
• Правосторонний: $1 - \Phi(Z)$
• Двусторонний: $2 \times \Phi(-|Z|)$

t-тест

Для t-теста с t-оценкой и $df = n-1$:

• Левосторонний: $T\_{df}(t)$
• Правосторонний: $1 - T\_{df}(t)$
• Двусторонний: $2 \times T\_{df}(-|t|)$

Критерий хи-квадрат (χ²)

Для χ²-оценки с $k$ степенями свободы:

• Левосторонний: $\chi²\_{k}(x)$
• Правосторонний: $1 - \chi²\_{k}(x)$

F-тест

Для F-оценки с $(d₁, d₂)$ степенями свободы:

• Левосторонний: $F\_{d₁,d₂}(x)$
• Правосторонний: $1 - F\_{d₁,d₂}(x)$

Примеры

Пример 1: Z-тест для среднего значения

Сценарий: Завод утверждает, что лампы служат 1 200 часов. Выборка из 50 ламп имеет $\bar{X} = 1 180$, $\sigma = 100$. Проверьте, меньше ли среднее значение заявленного.
Решение:

• Левостороннее p-значение: $\Phi(-1,414) \approx 0,078$.
  Вывод: Не отклоняем H₀ при $\alpha = 0,05$.

Пример 2: Критерий хи-квадрат для независимости

Сценарий: Опрос проверяет, связаны ли пол (М/Ж) и предпочтение (Да/Нет). Наблюдаемое χ² = 6,25, $df = 1$.
Решение:

• Правостороннее p-значение: $1 - \chi²\_{1}(6,25) \approx 0,012$.
  Вывод: Отклоняем H₀ при $\alpha = 0,05$.

Руководство по интерпретации

• p-значение < 0,01: Сильные доказательства против H₀.
• 0,01 ≤ p-значение < 0,05: Умеренные доказательства против H₀.
• p-значение ≥ 0,05: Недостаточно доказательств для отклонения H₀.

Распространённые заблуждения

1. Миф: Высокое p-значение “доказывает” H₀.
   Истина: Оно лишь указывает на недостаток доказательств против H₀.
2. Миф: p-значение = Вероятность истинности H₀.
   Истина: p-значение предполагает истинность H₀, но не измеряет её вероятность.

Часто задаваемые вопросы

Может ли p-значение быть отрицательным?

Нет. p-значения представляют вероятности и должны быть между 0 и 1.

Как интерпретировать p-значение 0,07?

При $\alpha = 0,05$ не отклоняем H₀. Однако результат погранично значим и требует дальнейшего изучения.

Почему 0,05 — распространённый уровень значимости?

Популяризирован Фишером. 0,05 балансирует ошибку I рода (ложные положительные результаты) и чувствительность. Однако это произвольный выбор и зависит от области (например, физика использует $5\sigma$, $p \approx 3 \times 10^{-7}$).

Как размер выборки влияет на p-значения?

Крупные выборки увеличивают чувствительность, облегчая обнаружение малых эффектов. Всегда указывайте размер эффекта (например, d Коэна) вместе с p-значениями.

В чём разница между односторонними и двусторонними тестами?

• Односторонний: Проверяет эффект в одном направлении (например, “больше чем”).
• Двусторонний: Проверяет эффект в любом направлении. Использует $2 \times$ вероятность хвоста.