Калькулятор z-оценки

Что такое z-оценка?

Z-оценка (также называемая стандартной оценкой) показывает, насколько далеко отдельное значение находится от среднего своей группы, измеренное в стандартных отклонениях. Z-оценка 0 означает, что значение в точности среднее. Положительная z-оценка означает, что значение выше среднего; отрицательная — что оно ниже среднего. Поскольку единицей являются «стандартные отклонения», а не доллары, сантиметры или баллы за тест, z-оценки позволяют сравнивать числа, происходящие из совершенно разных шкал.

Этот калькулятор работает в четырёх направлениях. Выберите, что вы хотите найти, заполните три других поля, и он найдёт недостающее: саму z-оценку, исходное значение x, среднее μ или стандартное отклонение σ.

Как работает калькулятор?

Z-оценка — это разрыв между значением и средним, делённый на стандартное отклонение:

Где:

• x — исходное значение, которое вы оцениваете.
• μ (мю) — среднее генеральной совокупности или выборки.
• σ (сигма) — стандартное отклонение, которое должно быть больше нуля.

То же уравнение можно переставить, чтобы выделить любую из других величин:

Калькулятор просто применяет ту перестановку, которая соответствует выбранному вами значению, поэтому вам никогда не приходится выполнять алгебру вручную.

Примеры

1. Найти z-оценку. Студент получает x = 85 за тест, где средний балл класса μ = 70, а стандартное отклонение σ = 10. $z = \frac{85 - 70}{10} = 1.5$ Балл на 1,5 стандартного отклонения выше среднего.

2. Значение, равное среднему. При x = 70, μ = 70 и σ = 10: $z = \frac{70 - 70}{10} = 0$ Значение попадает точно на среднее, поэтому его z-оценка равна 0.

3. Найти исходное значение. Вы знаете, что z-оценка равна z = 2, среднее μ = 100, а стандартное отклонение σ = 15. Переключите калькулятор на поиск исходного значения: $x = 100 + 2 \times 15 = 130$ Значение 130 находится на два стандартных отклонения выше среднего.

Практические примечания

• Стандартное отклонение должно быть положительным. Стандартное отклонение, равное нулю, означало бы, что все значения одинаковы, что делает z-оценку неопределённой.
• Отрицательные z-оценки нормальны и ожидаемы — они просто описывают значения ниже среднего.
• Используйте среднее и стандартное отклонение генеральной совокупности, когда у вас есть данные по всей группе, и выборочные версии, когда вы работаете с подмножеством.
• Получив z-оценку, вы можете найти её в таблице стандартного нормального распределения, чтобы оценить процентили и вероятности.

Часто задаваемые вопросы

Может ли z-оценка быть отрицательной?

Да. Любое значение ниже среднего даёт отрицательную z-оценку. Например, значение на 1,5 стандартного отклонения ниже среднего имеет z-оценку -1.5.

Что означает z-оценка, равная 0?

Это означает, что значение в точности равно среднему. Отклонения от среднего нет.

Почему стандартное отклонение должно быть больше нуля?

Формула делит на σ. Если бы стандартное отклонение было нулём, деление было бы неопределённым, а на практике это означало бы, что у данных вообще нет разброса.

Является ли z-оценка тем же, что и процентиль?

Не напрямую. Z-оценка измеряет расстояние от среднего в стандартных отклонениях, тогда как процентиль показывает долю значений, попадающих ниже точки. Вы можете преобразовать z-оценку в процентиль с помощью таблицы стандартного нормального распределения.