Onluk Çevirici

Ondalık Sayı Sistemi Nedir?

Ondalık sayı sistemi, aynı zamanda taban-10 sayı sistemi olarak da bilinir, günlük hayatta en yaygın kullanılan sayı sistemidir. Bu, on sembol kullanan bir pozisyonel gösterim sistemidir: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9. Bir sayının her pozisyonu, yer değerine bağlı olarak onun kuvvetini temsil eder. Örneğin, 3 472 sayısında her rakam belirli bir ağırlık taşır: 2 birler basamağında, 7 onlar basamağında, 4 yüzler basamağında ve 3 binler basamağında yer alır.

Ondalık sistem, muhtemelen on parmakla saymamızla ilgili olduğundan insanlar için sezgisel ve anlaşılırdır. Aritmetiğin temelidir ve dünyanın çoğunda matematiksel işlemler ve ölçü sistemlerinin temelini oluşturur.

Bununla birlikte, bilgisayar bilimleri ve dijital elektronik alanında özellikle uygun olan ikili (taban 2), sekizli (taban 8) ve on altılı (taban 16) gibi farklı sayı sistemleri de mevcuttur. Ondalık dönüştürücü, bu sistemlerde (taban 2’den taban 36’ya kadar) yazılmış sayıları almanıza ve bunları eşdeğer ondalık forma dönüştürmenize olanak tanır.

Sayı Sistemlerinin Genel Görünümü

Bir sayı sistemi, sayıları farklı semboller ve pozisyonel ağırlıklar kullanarak nasıl temsil edeceğimizi tanımlar. Bir sayı sisteminin tabanı veya yayılımı, ne kadar benzersiz rakam kullanacağını belirler.

• İkili sistem (taban 2): 0 ve 1 rakamlarını kullanır. Tüm dijital mantık iki durum kullanılarak çalıştığı için, bunlar kapalı (0) ve açık (1) olarak temsil edildiğinden, genellikle bilgisayar programlamada kullanılır.
• Sekizli sistem (taban 8): 0’dan 7’ye kadar rakamlar kullanır. Daha eski bilgisayarlarda kompakt temsiller için kullanılmıştır.
• Ondalık sistem (taban 10): 0’dan 9’a kadar rakamlar kullanır. Bu, standart sayma sistemimizdir.
• On altılı sistem (taban 16): 0’dan 9’a kadar rakamlar ve 10’dan 15’e kadar olan değerleri temsil etmek için A’dan F’e kadar harfler kullanır. Bilgisayar bilimlerinde, dört ikili rakamın tam olarak bir on altılı rakama karşılık gelmesi nedeniyle özellikle faydalıdır.
• Taban 36 sistemi: 0-9 arası rakamlar ve A-Z arası harfler kullanır. Çoğu zaman uzun sayısal tanımlayıcıları, örneğin URL’ler, seri kodları veya veritabanı anahtarları gibi, kısaltmak için kullanılır.

Dönüşüm Prensibi

Herhangi bir taban $b$ (burada $2 \leq b \leq 36$) kullanılarak yazılmış bir sayıyı ondalık eşdeğerine dönüştürmek için, pozisyonel gösterim için genel formülü kullanırız. Numaradaki her hane, sağdan başlayarak, sıfırdan başlayan pozisyonuna karşılık gelen kuvvetle yükseltilmiş taban ile çarpılır.

Formül

Bir sayının herhangi bir taban $b$‘den ondalık eşdeğerine dönüştürülmesi için formül şudur:

Burada:

• $N_{10}$ sayının ondalık değeridir,
• $d_i$ sağdan (0’dan başlayarak) $i$‘nci haneli rakamdır,
• $b$ orijinal sayının tabanıdır,
• $n$ toplam hane sayısıdır.

Eğer rakamlar arasında harfler (A–Z) bulunuyorsa, bunların ondalık karşılıkları: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15 ve bu şekilde devam ederek Z = 35’e kadar gider.

Adım Adım Dönüşüm

1. Orijinal sayının tabanını belirleyin (örneğin, ikili, sekizli, on altılı).
2. Rakam başına pozisyonel değeri, sağdan sıfırdan başlayarak yazın.
3. Her rakamı kendi ondalık eşdeğeri ile değiştirin.
4. Her rakamı, pozisyonunun kuvvetine yükseltilmiş taban ile çarpın.
5. Tüm çarpımları toplayarak ondalık (taban-10) eşdeğerini elde edin.

Örnekler

Örnek 1: İkili sayı 1011’in ondalığa dönüştürülmesi

Verilen taban $b = 2$.

Sonuç olarak, $1011_2 = 11_{10}$.

Örnek 2: Sekizli sayı 745’in ondalığa dönüştürülmesi

Verilen taban $b = 8$.

Bu durumda $745_8 = 485_{10}$.

Örnek 3: On altılı sayı 1F4’ün ondalığa dönüştürülmesi

Verilen taban $b = 16$. Burada, F = 15.

Bu durumda $1F4_{16} = 500_{10}$.

Pozisyonel Değerin Anlaşılması

Her bir rakamın önemi, sayıda yer aldığı konuma bağlıdır. Örneğin, 2000 sayısındaki 2, 20 veya 0.002’daki aynı 2’den oldukça farklı bir değere sahiptir. Bu ilke evrensel olarak tüm sayı sistemleri için geçerlidir. Pozisyonel değer sistemi tutarlılık ve ölçeklenebilirlik sağlar, böylece büyük miktarları kompakt bir şekilde temsil edebilir ve matematiksel işlemleri etkili bir şekilde gerçekleştirebiliriz.

Ondalık Sistem Hakkında İlginç Bilgiler

• Ondalık sistem en az 5 000 yıllık bir geçmişe sahiptir. İlk olarak eski Mısır ve Mezopotamya’da tahıl ve evcil hayvan sayarken kullanıldığı kaydedilmiştir.
• Birçok tarihi uygarlık, “sıfır” kavramını boş tutucu bir rakam olarak tanıtarak ondalık sistemi geliştirdi ve bu buluş özellikle Hindular ve Araplar tarafından gelişmiştir. Bu keşif devrim niteliğindeydi ve karmaşık hesaplamaları çok daha kolay hale getirdi.
• Günümüzdeki sayısal semboller (0-9), orta çağlarda ticaret ve akademik çalışmalar aracılığıyla Avrupa’ya yayılan Hindu-Arap sayı sisteminden gelmektedir.

Notlar

• 10’dan daha yüksek tabanlar için, harfler yükselen sırada 9’dan büyük değerleri temsil eder: 10 için A, 11 için B ve böylece 35 için Z.
• Çevirici, İngiliz alfabesinin 26 harf içermesi ve bu harflerin rakamlar 0-9 ile birleşerek 36 benzersiz sembol oluşturması nedeniyle, tabanları 36’ya kadar işleyebilir.

Sıkça Sorulan Sorular

Sekizli sistemdeki 2 sayısının ondalığa dönüştürülmesi

Verilen taban $b = 8$.

Yani $2_8 = 2_{10}$.

Ondalık sistemdeki 600 sayısının sekizli sisteme dönüştürülmesi

Kaliteleri aşağıdan yukarıya okuyarak elde edilir:

Bu nedenle $600_{10} = 1130_8$.

Taban-36 sayısını ondalık bağlamda nasıl okumalı?

Her bir rakam 0-35 arasındaki sayıları temsil edebilir. Örneğin, taban-36’da “Z” 35’e eşittir. “1Z”, ondalık olarak $1 \times 36 + 35 = 71$ ile eşdeğerdir.

Dönüşümün doğruluğu nasıl kontrol edilir?

Çıkan ondalık sayıyı tekrar orijinal tabana geri çevirerek kontrol edebilirsiniz: Ondalık sayıyı tekrar tekrar tabana bölün ve kalanları kaydedin. Kalanları tersten okuyarak orijinal temsili elde edin.

Neden ondalık sistem günlük hayatta tercih edilir?

Çünkü sayma sistemi on parmağa dayanarak gelişmiştir ve ondalık taban insan sezgisiyle doğal olarak uyumlu olduğundan, günlük finansal, bilimsel ve ticari faaliyetlerde öğretmesi, öğrenmesi ve kullanması daha basittir.