Ondalıktan ikiliye çevirici

Ondalık sayı sistemi nedir?

Ondalık sayı sistemi, aynı zamanda taban-10 sistemi olarak da bilinir ve günlük yaşamda en yaygın olarak kullanılan sayı sistemidir. 0’dan 9’a kadar uzanan on rakamdan oluşur ve her rakamın konumu 10’un kuvvetini ifade eder. Ondalık sistem pozisyoneldir, yani her rakamın yeri onun değerini belirler. Örneğin:

957 = (9 × 10²) + (5 × 10¹) + (7 × 10⁰) = 900 + 50 + 7 = 957

Bu pozisyonel prensip, ne kadar büyük olursa olsun herhangi bir sayının bu on rakam kullanılarak temsil edilmesine olanak tanır.

İnsanlar doğal olarak ondalık sisteme yöneldi çünkü on parmağımız var ve bu binlerce yıl önce sayma ve aritmetik için sezgisel hale geldi. Mısırlılar ve Hindular da dahil olmak üzere antik uygarlıklar sayma sistemlerini bu taban üzerine yapılandırdılar.

İkili sayı sistemi nedir?

Buna karşılık, ikili sayı sistemi sadece iki rakam kullanan taban-2 bir sistemdir: 0 ve 1. Bu rakamlar “binary digit”in kısaltması olan bit olarak bilinir. İkili bir sayının her konumu 2’nin bir kuvvetini temsil eder, tıpkı ondalık bir sayının her konumunun 10’un bir kuvvetini temsil etmesi gibi. Örneğin:

1011₂ = (1 × 2³) + (0 × 2²) + (1 × 2¹) + (1 × 2⁰)
= 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀

İkili sistem, bilgisayar ve elektronik alanında temeldir çünkü dijital sistemler iki durumu—açık (1) ve kapalı (0)—verileri depolamak ve işlemek için kullanır.

Formül

Ondalık (taban 10) sisteminden ikili (taban 2) sisteme dönüştürme, 2’ye ardışık bölme yöntemiyle yapılabilir. Adımlar şunlardır:

1. Ondalık sayıyı 2’ye bölün.
2. Kalanı (0 veya 1) kaydedin.
3. Bölümü tekrar 2’ye bölün.
4. Bölüm 0 olana kadar devam edin.
5. İkili temsil, kalıntıların alttan üste doğru okunmasıyla oluşur.

Matematiksel olarak, süreç şu şekilde ifade edilebilir:

Eğer
$N_{10} = a_n \times 10^n + a_{n-1} \times 10^{n-1} + \dots + a_0 \times 10^0$

O zaman ikiliye dönüştürme şu şekilde olur:
$N_{10} = b_k \times 2^k + b_{k-1} \times 2^{k-1} + \dots + b_0 \times 2^0$

burada her $b_i \in \{0, 1\}$.

Adım adım örnekler

Örnek 1: 89₁₀’ı ikiliye çevirin

Kalanı alttan üste okuma:
89₁₀ = 1011001₂

Doğrulama:
$(1×2^6) + (0×2^5) + (1×2^4) + (1×2^3) + (0×2^2) + (0×2^1) + (1×2^0) = 64 + 0 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 89$

Örnek 2: 16 ondalık sayıyı ikiliye çevirin

Alttan üste doğru okuma:
16₁₀ = 10000₂

Doğrulama:
$(1×2^4) + (0×2^3) + (0×2^2) + (0×2^1) + (0×2^0) = 16 + 0 + 0 + 0 + 0 = 16$

Tarihsel Arka Plan

İkili sistem eski köklere sahiptir. İkili benzeri bir sistemin en eski belgesi, yaklaşık M.Ö 1000 yılında ikili kombinasyonlara benzeyen kehanet desenleri kullanan Çin metni I Ching (“Değişim Kitabı”) olarak kabul edilir.

Ancak modern ikili aritmetiğin resmi temeli 1703 yılında Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından atıldı. Leibniz, yalnızca 0 ve 1 rakamlarını kullanarak tüm sayıları temsil edebilecekleri bir sistem oluşturdu ve bu sistem, doğadaki basit ikiliği—ışık ve karanlık, evet ve hayır, açık ve kapalı—yansıtır.

Yüzyıllar sonra, 20. yüzyılın ortalarında, dijital bilgisayarlar ikili mantığı makine hesaplamasının köşe taşı olarak benimsedi. Bir elektrik devresinin iki durumu—yüksek voltaj (1) ve düşük voltaj (0)—ikili temsili mükemmel bir şekilde uyarlayarak karmaşık veri işleme, aritmetik işlemler ve bellek depolamayı mümkün kıldı.

Dönüşüm ipuçları ve notlar

1. Bölme işleminden sonra kalıntıları alttan üste doğru okumanız gerektiğini unutmayın.
2. Maksimum ikili rakam değeri 1’dir.
3. Küçük sayılar için, ikili eşdeğerleri genellikle ezberlenebilir:
   • 1₁₀ = 1₂
   • 2₁₀ = 10₂
   • 4₁₀ = 100₂
   • 8₁₀ = 1000₂
   • 16₁₀ = 10000₂
4. İkili sayılar 2’nin kuvvetleriyle artar. Her yeni bitin, olası sayısal aralığı ikiye katladığını unutmayın.
5. Ters işlem (ikiliyi ondalığa dönüştürme), her bitin 2’nin pozisyonel gücüyle çarpılması ve bunların toplanması ile yapılır.

Sıkça Sorulan Sorular

2020’yi adım adım ikiliye nasıl dönüştürürsünüz?

Alttan üste doğru okuma: 11111100100₂

Bir ikili sayının doğruluğunu hızlı bir şekilde nasıl kontrol edersiniz?

Doğrulama için, her ikili rakamı onun pozisyonel 2 gücü ile çarparak genişletin ve sonuçları toplayın.
Örneğin, 10011₂ kontrol edin:
$(1×2^4)+(0×2^3)+(0×2^2)+(1×2^1)+(1×2^0)=16+0+0+2+1=19$.
Bu nedenle, 10011₂ = 19₁₀’dir.

Küçük sayılar için zihinsel dönüşümler nasıl yapılır?

16’ya kadar olan ikili temsil etmeleri ezberlemeye çalışın.
Her eklenen rakam önceki değerin iki katını alır:
1=1₂, 2=10₂, 3=11₂, 4=100₂, 5=101₂, 6=110₂, 7=111₂, 8=1000₂, vb.
Bu zihinsel model, tam bölme yapmadan tahminlere yardımcı olur.

199 sayısını ondalıktan ikiliye çevirme

Alttan üste doğru okuma: 11000111₂