Kiriş uzunluğu hesaplayıcı

Kiriş uzunluğu hesaplayıcı nedir?

Kiriş, iki uç noktası da bir çember üzerinde bulunan bir doğru parçasıdır. Bir çemberin en uzun kirişi onun çapıdır; diğer her kiriş daha kısadır ve bir merkez açı tarafından “gerilir” — merkez açı, kirişin uçlarına çizilen iki yarıçap tarafından merkezde oluşturulan açıdır.

Bu hesaplayıcı, diğer ikisi bilindiğinde üç değerden herhangi birini — kiriş uzunluğu, yarıçap veya merkez açı — bulur. Açı derece veya radyan cinsinden, yarıçap ve kiriş ise herhangi bir yaygın uzunluk biriminde girilebilir.

Temel kavramlar

• Yarıçap (r) — çemberin merkezinden sınırındaki bir noktaya olan mesafe.
• Merkez açı (θ) — kirişin uçlarına çizilen iki yarıçap tarafından çemberin merkezinde oluşturulan açı.
• Kiriş (c) — yayın iki ucu arasındaki, çemberin eğrisini takip etmek yerine onu kesen düz çizgi mesafesi.
• Çap — merkezden geçen bir kirişin özel durumu. Uzunluğu $2r$ olup 180°‘lik bir merkez açıya karşılık gelir.

Kiriş ve yay uzunluğu aynı uç nokta çiftini iki farklı bakış açısından tanımlar: kiriş düz bir kestirme yoldur, yay ise çember boyunca giden yoldur.

Hesaplayıcı nasıl çalışır?

Kiriş, uçlarına çizilen iki yarıçap ve merkezden indirilen dikme, iki eş dik üçgen oluşturur. Kirişin yarısı, yarıçap ve merkez açının yarısı şu eşitliği sağlar

$$\sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right) = \frac{c/2}{r}$$

bu da hesaplayıcının kullandığı formüllere dönüşür.

Formüller

Yarıçap ve merkez açıdan kiriş:

$$c = 2 r \sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)$$

Kiriş ve merkez açıdan yarıçap:

$$r = \frac{c}{2 \sin\!\left(\tfrac{\theta}{2}\right)}$$

Kiriş ve yarıçaptan merkez açı:

$$\theta = 2 \arcsin\!\left(\frac{c}{2r}\right)$$

Derece cinsinden $\theta$ yerine $\theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$ koyun ya da birim seçiciyi değiştirdikten sonra açıyı doğrudan hesaplayıcıdan okuyun.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: yarıçap ve açıdan kiriş

Bir çemberin yarıçapı 10 cm ve merkez açısı 60°‘dir. Bu açının belirlediği kiriş

$$c = 2 \cdot 10 \cdot \sin(30°) = 2 \cdot 10 \cdot 0.5 = 10 \text{ cm}$$

Bu, 60°‘lik bir açının kirişinin yarıçapa eşit olduğu bilinen özdeşliktir — oluşan üçgen eşkenardır.

Örnek 2: 180°‘de kiriş çapa eşittir

5 m yarıçap ve 180° (veya $\pi$ radyan) merkez açı için kiriş çember boyunca uzanır:

$$c = 2 \cdot 5 \cdot \sin(90°) = 10 \text{ m}$$

Bu, çemberin çapıdır.

Örnek 3: kiriş ve açıdan yarıçap

10 cm uzunluğunda bir kiriş 60°‘lik bir merkez açıyla belirlenmiştir. Çemberin yarıçapı

$$r = \frac{10}{2 \sin(30°)} = \frac{10}{1} = 10 \text{ cm}$$

Örnek 4: kiriş ve yarıçaptan açı

10 cm yarıçaplı bir çemberde 10 cm uzunluğunda bir kiriş çizilmiştir. Merkez açı

$$\theta = 2 \arcsin\!\left(\frac{10}{20}\right) = 2 \cdot 30° = 60°$$

Örnek 5: çeyrek çemberin kirişi

Yarıçapı 1 olan bir çember üzerindeki 90°‘lik bir açı için kiriş $c = 2 \sin(45°) = \sqrt{2} \approx 1.4142$ iken aynı açının yay uzunluğu $\pi/2 \approx 1.5708$ olur. Yay her zaman kirişten biraz daha uzundur.

Pratik kullanım alanları

• Mühendislik — kayışların ve kasnakların döşenmesi; iki tekerlek üzerindeki temas noktaları arasındaki düz çizgi mesafesi her tekerleğin bir kirişidir.
• Mimarlık ve marangozluk — bir kemerin veya eğri pencerenin karşıdan karşıya ölçülmesi; kiriş açıklığı verirken yay uzunluğu eğri boyunca ihtiyaç duyulan malzemeyi verir.
• Haritacılık — dairesel referans noktalarından zemin üzerindeki konumların belirlenmesi; kiriş ölçümlerini işaretlemek yaylardan daha kolaydır.
• Astronomi — uzaktaki cisimlerin görünür çapının hesaplanması; dairesel bir kesit boyunca uzanan kiriş gözlemlenen uzanıma karşılık gelir.
• Geometri ve trigonometri — kiriş/açı ilişkisi sinüs fonksiyonunun özgün tanımlarından biridir ve hâlâ daire dilimi ve parça hesaplamalarında görünür.

Notlar

• Kiriş hiçbir zaman çaptan uzun olamaz ($c \le 2r$). Bundan daha uzun bir kiriş girerseniz, açı tanımsız olur ve hesaplayıcı sonuç vermez.
• 0°‘lik bir açı 0 uzunluğunda bir kiriş verir — uç noktalar çakışır.
• 180°‘lik bir açı çapı verir; 180°‘den büyük açılar tur atarak tümleyenleriyle aynı kirişi verir (örneğin 200° ve 160° özdeş kirişler verir).
• Bir kiriş ve açıdan yarıçapı çözerken açı 0 olamaz; açıyı çözerken yarıçap 0 olamaz.
• Yarıçap ve kirişin birimleri aynıdır: birim seçiciyi değiştirmek sonucu otomatik olarak yeniden dönüştürür.