Altıgen hesaplayıcı

Altıgen hesaplayıcı nedir?

Altıgen hesaplayıcı, kenarları eşit ve açıları eşit olan altı kenarlı şekil olan düzgün altıgen için hepsi bir arada bir araçtır. Ölçülerinden herhangi birini girin, diğer tüm büyüklükler anında belirir: kenar uzunluğu, alan, çevre, uzun ve kısa köşegenler, dış çember yarıçapı ve iç çember yarıçapı. Geometri problemleri çözen öğrenciler, fayans veya cıvata kesen ustalar ve petek deseni çizen herkes için faydalıdır; düzgün altıgen, düzlemi boşluk bırakmadan kapladığı için tekrar tekrar karşımıza çıkar.

Düzgün altıgenin özellikleri

Düzgün altıgenin altı eşit kenarı ve her biri 120 derece olan altı iç açısı vardır. Merkezde buluşan altı özdeş eşkenar üçgene bölünebilir, bu yüzden dış çember yarıçapı — merkezden bir köşeye olan uzaklık — tam olarak kenar uzunluğuna eşittir. Altıgenin iki tür köşegeni vardır: merkezden geçip karşılıklı köşeleri birleştiren üç uzun köşegen ve bir köşeyi atlayan altı kısa köşegen. Uzun köşegen kenarın iki katıdır, kısa köşegen ise kenarın üçün kareköküyle çarpımına eşittir.

Hesaplayıcı nasıl çalışır?

Herhangi bir alana bir değer yazın; hesaplayıcı önce ondan kenar uzunluğunu bulur, ardından diğer tüm özellikleri doldurur. Böylece kenardan, alandan, çevreden, köşegenlerden biri olan, dış veya iç çember yarıçapından başlayabilir ve her zaman altıgenin eksiksiz bir tanımını elde edersiniz. Her uzunluk alanı farklı birimleri kabul eder ve aralarındaki dönüşümler otomatik olarak yapılır.

Formüller

Kenar uzunluğu $a$ ile düzgün altıgenin alanı:

$$A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2$$

Çevre kenarın altı katıdır:

$$P = 6a$$

Uzun köşegen (köşeden karşı köşeye) ve kısa köşegen (bir köşe atlayarak) şöyledir:

$$D = 2a \qquad d = \sqrt{3}\,a$$

Dış çember yarıçapı $R$ (merkezden köşeye) kenara eşittir, iç çember yarıçapı $r$ (merkezden bir kenarın orta noktasına, apotem de denir) ise:

$$R = a \qquad r = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a$$

burada $A$ alan, $P$ çevre, $D$ ve $d$ uzun ve kısa köşegenler, $R$ dış çember yarıçapı, $r$ iç çember yarıçapı ve $a$ kenar uzunluğudur.

Örnekler

1. Kenarı 10 cm olan düzgün bir altıgen:

$$A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\times 10^2 \approx 259.81 \text{ square centimeters}$$ $$P = 6 \times 10 = 60 \text{ centimeters}$$ $$D = 2 \times 10 = 20 \text{ centimeters} \qquad d = \sqrt{3}\times 10 \approx 17.32 \text{ centimeters}$$ $$R = 10 \text{ centimeters} \qquad r = \frac{\sqrt{3}}{2}\times 10 \approx 8.66 \text{ centimeters}$$

2. 60 cm’lik bir çevreden geriye doğru çalışıldığında kenar $60 / 6 = 10$ cm olur ve yukarıdaki tüm değerleri yeniden üretir.

Pratik notlar

• Dış çember yarıçapı kenara eşit olduğundan, düzgün bir altıgen, yarıçapı kenar uzunluğu olan bir çemberin içine tam olarak sığar — pergelle çizerken kullanışlıdır.
• İç çember yarıçapına apotem de denir; altıgenin içine sığan en büyük çemberin yarıçapıdır.
• Farklı sayıda kenara sahip şekiller için düzgün çokgen alan hesaplayıcı ve düzgün çokgen çevre hesaplayıcı bu formülleri genelleştirir.

Sık sorulan sorular

Düzgün bir altıgenin alanını nasıl bulurum?

Kenar uzunluğunun karesini alıp $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ile çarpın. Kenarı 10 olan için alan $\frac{3\sqrt{3}}{2}\times 100 \approx 259.81$ olur.

Uzun ve kısa köşegen arasındaki fark nedir?

Uzun köşegen iki karşıt köşeyi birleştirir ve merkezden geçer, bu yüzden $2a$‘ya eşittir. Kısa köşegen, bir köşeyle ayrılmış iki köşeyi birleştirir ve $\sqrt{3}\,a$‘ya eşittir, daha kısadır.

Dış çember yarıçapı neden kenara eşittir?

Düzgün bir altıgen, merkezde buluşan altı eşkenar üçgene ayrılır. Her üçgen, merkezden köşeye olan uzaklığı ve kenarı eşit iki kenarı olarak içerir, bu yüzden dış çember yarıçapı tam olarak kenar uzunluğudur.

Altıgenin apotemi nedir?

Apotem, iç çember yarıçapıdır — merkezden bir kenarın orta noktasına olan uzaklık. Düzgün bir altıgen için $\frac{\sqrt{3}}{2}\,a$‘ya, yaklaşık kenarın 0.866 katına eşittir.