İkinci dereceden denklem hesaplayıcı

İkinci dereceden denklem hesaplayıcı nedir?

İkinci dereceden denklem hesaplayıcı, $a x^2 + b x + c = 0$ biçimindeki bir ikinci dereceden denklemi gerçek kökleri için çözer. Üç katsayıyı — baş katsayı $a$, doğrusal katsayı $b$ ve sabit terim $c$ — girersiniz ve hesaplayıcı, diskriminantı ve her biri dört ondalık basamağa yuvarlanmış iki gerçek çözüm $x_1$ ile $x_2$‘yi döndürür.

İkinci dereceden denklem, ikinci dereceden bir polinom denklemidir; yani bilinmeyenin en yüksek kuvveti ikidir. $a \neq 0$ olduğu sürece denklem bir parabol tanımlar ve gerçek kökleri tam olarak bu parabolün yatay ekseni kestiği noktalardır.

Nasıl çalışır?

Kökler, ikinci dereceden denklem formülüyle bulunur:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Karekökün altındaki ifade olan $b^2 - 4ac$, diskriminant olarak adlandırılır ve genellikle $\Delta$ olarak yazılır:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Diskriminant, kökleri hesaplamadan önce bile denklemin kaç gerçek köke sahip olduğunu söyler:

• Eğer $\Delta > 0$ ise, iki farklı gerçek kök vardır.
• Eğer $\Delta = 0$ ise, bir tane çakışık (katlı) gerçek kök vardır (iki çözüm çakışır).
• Eğer $\Delta < 0$ ise, gerçek kök yoktur — çözümler eşlenik karmaşık bir çift oluşturur, bu nedenle hesaplayıcı kök alanlarını boş bırakır.

Hesaplayıcı ayrıca $a \neq 0$ gerektirir. $a = 0$ olduğunda denklem artık ikinci dereceden değil, doğrusaldır, bu yüzden ikinci dereceden kök bildirilmez.

Çözümlü örnekler

Örnek 1 — iki kök. $x^2 - 3x + 2 = 0$ denklemini çözün, yani $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$.

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

Bu, $x_1 = 2$ ve $x_2 = 1$ verir.

Örnek 2 — katlı kök. $x^2 + 2x + 1 = 0$ denklemini çözün, yani $a = 1$, $b = 2$, $c = 1$.

$\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{0}}{2} = -1$

Her iki kök de $-1$‘e eşittir; bu, parabolün eksene değdiği tek noktadır.

Örnek 3 — gerçek kök yok. $x^2 + 1 = 0$ denklemini çözün, yani $a = 1$, $b = 0$, $c = 1$.

$\Delta = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4$

$\Delta < 0$ olduğundan gerçek çözüm yoktur, bu yüzden hesaplayıcı yalnızca diskriminantı döndürür ve kök alanlarını boş bırakır.

Pratik notlar

İşaret önemlidir: $b$ ve $c$‘yi eksi işareti dahil olmak üzere göründükleri gibi tam olarak girin, bu nedenle ilk örnekte $b$ için -3 yazın. Sonuçlar dört ondalık basamağa yuvarlanır; bu, grafik çizimi, fizik ve mühendislik çalışmaları için genellikle fazlasıyla yeterlidir, ancak $\sqrt{2}$ gibi irrasyonel köklerin ondalık yaklaşık değerleri olarak gösterileceği anlamına gelir.

İkinci dereceden denklem formülü, diğer cebir araçlarıyla yakından ilişkilidir. Kökleri elde ettikten sonra denklemi çarpanlarına ayrılmış biçimde $a(x - x_1)(x - x_2)$ olarak yeniden oluşturabilirsiniz; bu da doğal olarak bir çarpan hesaplayıcı ile bağlantılıdır. Formülün kalbindeki karekök adımı, bir küp kök hesaplayıcı ardındaki fikri genelleştirir ve kare terimler, sayıları kuvvetlere yükseltme işlemiyle bir üs hesaplayıcı aracılığıyla bağlantılıdır.