Trigonometri hesaplayıcı

Trigonometri hesaplayıcı nedir?

Trigonometri, bir üçgenin açılarını kenarlarının uzunluklarına bağlayan matematik dalıdır. Trigonometri hesaplayıcı tek bir açı alır ve onun için tanımlanmış altı trigonometrik fonksiyonu döndürür: sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant. Açıyı derece veya radyan cinsinden girebilirsiniz, dönüşümü hesaplayıcı sizin için yapar.

Bu altı fonksiyon, üçgen ne kadar büyük veya küçük olursa olsun belirli bir açı için sabit kalan oranları tanımlar. Onları bu kadar güçlü kılan da budur: açı bilindiğinde oranlar sabittir ve haritacılıktan navigasyona, fizikten sinyal işlemeye ve bilgisayar grafiklerine kadar her yerde karşımıza çıkarlar.

Temel kavramlar

• Açı (θ) — derece (tam bir tur 360°) veya radyan (tam bir tur $2\pi$) cinsinden ölçülen giriş açısı.
• Sinüs ve kosinüs — iki temel fonksiyon; birim çemberde θ açısındaki noktanın $\cos\theta$ x koordinatı, $\sin\theta$ ise y koordinatıdır.
• Tanjant — θ açısındaki yarıçap doğrusunun eğimine eşit olan $\sin\theta / \cos\theta$ oranı.
• Ters fonksiyonlar — kotanjant, sekant ve kosekant sırasıyla tanjant, kosinüs ve sinüsün tersleridir.

Hesaplayıcı nasıl çalışır?

Orijinde merkezlenmiş yarıçapı 1 olan bir çember düşünün: birim çember. Çember üzerinde θ açısındaki bir nokta (pozitif x ekseninden saat yönünün tersine ölçülerek) $(\cos\theta, \sin\theta)$ koordinatlarına sahiptir. Her trigonometrik fonksiyon bu iki koordinattan oluşturulur.

Formüller

İki temel fonksiyon, birim çember üzerindeki noktanın koordinatlarıdır:

$$\sin\theta = y, \qquad \cos\theta = x$$

Kalan dört fonksiyon bunların oranları ve tersleridir:

$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$ $$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}, \qquad \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$$

Sıfıra bölme tanımsız olduğundan, bazı fonksiyonların belirli açılarda değeri yoktur. Tanjant ve sekant, $\cos\theta = 0$ olan her yerde (örneğin 90° ve 270°) tanımsızdır; kotanjant ve kosekant ise $\sin\theta = 0$ olan her yerde (örneğin 0° ve 180°) tanımsızdır. Hesaplayıcı bu çıktıları boş bırakır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1: 30° açı

30°‘de değerler kesin ve iyi bilinir:

$$\sin 30° = 0.5, \quad \cos 30° \approx 0.866025, \quad \tan 30° \approx 0.577350$$ $$\cot 30° \approx 1.732051, \quad \sec 30° \approx 1.154701, \quad \csc 30° = 2$$

Örnek 2: 45° açı

45°‘de sinüs ve kosinüs eşittir, bu yüzden tanjant ve kotanjant her ikisi de 1’dir:

$$\sin 45° = \cos 45° \approx 0.707107, \quad \tan 45° = \cot 45° = 1, \quad \sec 45° = \csc 45° \approx 1.414214$$

Örnek 3: 90° açı

90°‘de nokta birim çemberin tepesinde bulunur, dolayısıyla $\cos 90° = 0$:

$$\sin 90° = 1, \quad \cos 90° = 0, \quad \cot 90° = 0, \quad \csc 90° = 1$$

Burada $\tan 90°$ ve $\sec 90°$ tanımsızdır çünkü $\cos 90° = 0$‘a bölünürler.

Örnek 4: 1 radyan açı

Giriş birimini radyana çevirip 1 girerek:

$$\sin 1 \approx 0.841471, \quad \cos 1 \approx 0.540302, \quad \tan 1 \approx 1.557408$$

Pratik kullanımlar

• Haritacılık ve navigasyon — ölçülen bir yükseklik açısını bir yüksekliğe veya yatay mesafeye dönüştürmek.
• Fizik ve mühendislik — kuvvetleri, hızları veya alternatif akım sinyallerini dik bileşenlere ayırmak.
• Bilgisayar grafikleri ve oyunlar — noktaları döndürmek, mermileri nişanlamak ve dairesel hareketi canlandırmak hep sinüs ve kosinüse dayanır.
• Astronomi — bir yıldızın görünen açısını aynı oranları kullanarak mesafelerle ilişkilendirmek.
• Üçgen çözme — bir fonksiyon değeriniz olduğunda, dik üçgen açı hesaplayıcı gerçek bir üçgenin açılarını geri kazanmaya yardımcı olur.

Notlar

• Giriş biriminin açınızla eşleştiğinden emin olun: radyan modunda 90 girmek, 90 dereceden tamamen farklı bir açıdır.
• Bir açıyı tek başına derece, radyan ve grad arasında dönüştürmek için açı birimi dönüştürücüsünü kullanın.
• Boş çıktılar, fonksiyonun o açıda tanımsız olduğu anlamına gelir (sıfıra bölme), hesaplayıcının başarısız olduğu değil.
• Altı fonksiyon periyodik olarak tekrar eder, dolayısıyla bir açı ile o açının üzerine tam bir tur eklenmiş hali aynı sonuçları verir.
• Bir açıyı bildiğinizde, dairesel bir dilimi boyutlandırmak için onu daire dilimi alanı hesaplayıcıya girebilirsiniz.