Güven Aralığı Hesaplayıcı

Güven aralığı nedir?

Bir güven aralığı, bilinmeyen bir popülasyon parametresi (burada popülasyon ortalaması) için akla yatkın değerlerin bir aralığıdır. Tek bir nokta tahmini bildirmek yerine, bu tahminin etrafındaki belirsizliği bir alt sınır ve bir üst sınırla ifade eder.

Örneğin %95 güven aralığı, aynı örnekleme prosedürünü birçok kez tekrarlasaydınız oluşturduğunuz aralıkların yaklaşık %95’inin gerçek ortalamayı içereceği anlamına gelir. Aralığın genişliği, verilerinizin ne kadar değiştiğine, kaç gözleminiz olduğuna ve ne kadar emin olmak istediğinize bağlıdır.

Bu hesaplayıcı, popülasyon standart sapması bilindiğinde veya örneklem merkezi limit teoreminin uygulanması için yeterince büyük olduğunda uygun olan z (normal) yaklaşımını kullanır.

Hesaplayıcı nasıl çalışır?

Dört bilgi sağlarsınız:

• Örneklem ortalaması (x̄): gözlemlerinizin ortalaması.
• Standart sapma (σ): verilerin yayılımı; pozitif olmalıdır.
• Örneklem büyüklüğü (n): gözlem sayısı; en az 1 olan bir tam sayı.
• Güven düzeyi: ne kadar emin olmak istediğiniz: %90, %95 veya %99.

Her güven düzeyi bir kritik z değerine karşılık gelir:

Hesaplayıcı hata payını, alt sınırı ve üst sınırı döndürür.

Formüller

Ortalamanın standart hatası:

$$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Hata payı, standart hatayı kritik z değeriyle ölçeklendirir:

$$E = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Ortalama için güven aralığı o zaman:

$$\bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

Çözümlü örnekler

Örnek 1: x̄ = 100, σ = 15, n = 36, %95

Standart hata:

$$SE = \frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2.5$$

z = 1,96 ile hata payı:

$$E = 1.96 \times 2.5 = 4.9$$

Yani %95 güven aralığı [95,1, 104,9].

Örnek 2: x̄ = 50, σ = 10, n = 25, %99

Standart hata:

$$SE = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$

z = 2,576 ile hata payı:

$$E = 2.576 \times 2 = 5.152$$

Yani %99 güven aralığı [44,848, 55,152].

Pratik notlar

• Daha yüksek bir güven düzeyi aralığı genişletir: gerçek ortalamayı yakaladığınızdan daha emin olmak daha büyük bir aralık gerektirir.
• Daha büyük bir örneklem büyüklüğü aralığı daraltır, çünkü standart hata √n ile küçülür.
• z yaklaşımı, ortalamanın örnekleme dağılımının yaklaşık olarak normal olduğunu varsayar. Standart sapması bilinmeyen küçük örneklemler için genellikle bir t aralığı daha doğrudur.
• Hata payı simetriktir, bu nedenle aralık her zaman örneklem ortalaması etrafında ortalanır.