二进制补码计算器

什么是二进制补码？

二进制补码是计算机用固定位数存储有符号整数（可为正或为负的数）的标准方式。它不为负号单独保留一个符号，而是对负数进行编码，使普通的二进制加法直接成立，无需对符号做特殊处理。几乎每一款现代 CPU 都以这种方式表示整数。

本计算器接收一个十进制整数和一个位宽（8、16 或 32 位），并以二进制和十六进制两种形式显示其二进制补码位模式。

它是如何工作的？

对于所选的 $w$ 位宽度，每个数值都以无符号位模式存储：

• 如果数字 $n$ 是非负的，其位模式就是 $n$ 的二进制，并在前面补零至 $w$ 位。
• 如果数字 $n$ 是负的，其位模式是 $2^w + n$ 的二进制。

由于第二种情况下 $n$ 为负，$2^w + n$ 是一个小于 $2^w$ 的正值，因此它总能容纳在 $w$ 位中。最高有效位（最左侧位）对每个负数都为 $1$，对每个非负数都为 $0$——该位起到符号位的作用。

公式

结果随后以恰好 $w$ 个二进制数字（或 $w/4$ 个十六进制数字）写出。

计算实例

示例 1：正数

在 $8$ 位中编码 $n = 5$。由于 $5 \ge 0$，位模式就是 $5$ 的二进制，补足到八位：

示例 2：负一

在 $8$ 位中编码 $n = -1$。由于 $-1 < 0$，计算 $2^8 + (-1) = 256 - 1 = 255$：

无论位宽如何，负一始终是一连串不间断的 1。

示例 3：负五

在 $8$ 位中编码 $n = -5$。计算 $2^8 + (-5) = 256 - 5 = 251$：

参考表（8 位）

注意事项

• 一个 $8$ 位有符号整数的范围是 $-128$ 到 $127$；$16$ 位的范围是 $-32{,}768$ 到 $32{,}767$；$32$ 位的范围大约是 $\pm 2.1$ 十亿。超出所选范围的值会按模 $2^w$ 回绕。
• 首位是符号位：$0$ 标记非负数，$1$ 标记负数。
• 若要将一个不带符号位的普通非负数转换为二进制，请使用十进制到二进制转换器，或使用通用的数字系统转换器处理其他进制。

常见问题解答

二进制补码中的 -1 是什么？

在任何位宽下它都是全 1：8 位为 $11111111_2$（0xFF），16 位为 $1111111111111111_2$（0xFFFF），依此类推。

如何手动求负数的二进制补码？

将该数的绝对值写成二进制，翻转每一位，然后加一。对于 8 位中的 $-5$：$5$ 是 $00000101$，翻转后得到 $11111010$，加一得到 $11111011$——与 $256 - 5 = 251$ 的结果相同。

为什么位宽很重要？

位宽决定了位模式占用多少位，从而决定了可存储数字的范围。随着位宽增大，同一个十进制值会产生更长的前导 0 或 1 串。