弧长计算器

什么是弧长计算器？

弧长计算器用于求出沿圆边缘的一段曲线的长度。弧是位于圆上两点之间的那部分圆周，其长度取决于两个量：每个点到圆心的距离（半径），以及这两个点之间在圆心处所形成的角度大小（中心角）。

此计算器可以三向工作。若已知半径和角度，则返回弧长。若已知弧长以及另外两个量中的一个，则求解缺失的值。您可以以度数或弧度输入角度，并以任何常见的长度单位输入半径和弧长。

关键概念

• 半径 (r) — 从圆心到其边界上任意一点的距离。
• 中心角 (θ) — 在圆心处由分别指向弧两端的两条半径所形成的角。
• 弧长 (L) — 沿曲线从弧的一端到另一端所经过的距离。
• 弧度 — 此公式中角度的自然单位。一弧度是其所对应的弧长等于半径的角。一整圆为 $2\pi$ 弧度，即 360 度。

计算器如何工作？

当角度以弧度表示时，弧长、半径与中心角之间的关系是线性的。计算器在内部将角度转换为弧度，然后根据用户需要的方向应用公式。

公式

如果角度以弧度为单位：

$$L = r \cdot \theta$$

如果角度以度数为单位：

$$L = \frac{\theta}{360} \cdot 2\pi r = \frac{\pi r \theta}{180}$$

变形以求半径：

$$r = \frac{L}{\theta_{\text{rad}}}$$

变形以求角度：

$$\theta_{\text{rad}} = \frac{L}{r}, \qquad \theta_{\text{deg}} = \frac{L}{r} \cdot \frac{180}{\pi}$$

计算实例

示例 1：由半径和角度求弧长

一个圆的半径为 10 cm，您想求出 90° 中心角所对应的弧长。

$$L = \frac{\pi \cdot 10 \cdot 90}{180} = 5\pi \approx 15.708 \text{ cm}$$

示例 2：由半径和弧度求弧长

对于半径为 5 m，中心角为 2 弧度：

$$L = 5 \cdot 2 = 10 \text{ m}$$

示例 3：由弧长和角度求半径

一段长 15.708 cm 的弧被一个 90° 的角所截。半径为：

$$r = \frac{15.708}{\frac{\pi}{2}} \approx 10 \text{ cm}$$

示例 4：由弧长和半径求角度

半径为 10 cm 的圆上一段 15.708 cm 的弧对应：

$$\theta_{\text{rad}} = \frac{15.708}{10} = 1.5708 \text{ rad} = 90°$$

示例 5：完整旋转

对于半径 1 和角度 360°，弧长即为圆的完整周长：$L = 2\pi \cdot 1 \approx 6.2832$。

实际用途

• 工程与制造 — 铺设弯曲的轨道、管道、皮带或皮带轮，使弯曲材料的长度与已知角度相匹配。
• 建筑与建造 — 测量拱门、穹顶或环形交叉口路段的弯曲边缘。
• 测量与制图 — 计算沿纬线或弯曲边界的距离。
• 缝纫与样板制作 — 计算圆形或喇叭形布料所需的用量（这与驱动圆扇形面积计算器的计算相同）。
• 体育 — 计算运动员在跑道弯道部分所跑的距离。

注意事项

• 半径和角度必须均为正数，结果才有意义。
• 0° 的角度产生 0 的弧长 — 两个端点重合。
• 根据弧长和角度求半径时，角度不能为 0；求角度时，半径不能为 0。
• 半径和弧长的单位一致：以米为单位的半径产生以米为单位的弧长。切换单位选择器会自动重新换算结果。