最大公因数（GCF）计算器

什么是最大公因数？

最大公因数（GCF），也称为最大公约数（GCD），是能够整除给定集合中每个数且不留余数的最大正整数。例如，12 和 18 的最大公因数是 6，因为 6 是能同时整除 12 和 18 的最大数字。

本计算器可求出两个或多个正整数的最大公因数。此外，它还会显示最小公倍数（LCM）：即集合中每个数的倍数中最小的正整数。

计算器如何工作？

在可重复的行中输入你的数字——需要多少就添加多少。计算器会忽略空行，并且至少需要两个数字才能给出结果。然后它对整个列表应用欧几里得算法来求出最大公因数，并用该结果计算最小公倍数。

欧几里得算法通过反复用较大数除以较小数所得的余数替换较大数，直到余数为零，从而求出两个数的最大公因数。最后一个非零值即为最大公因数。要处理整个列表，最大公因数按两两计算：gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c)，依此类推。

公式

数字列表的最大公因数通过两两折叠最大公因数来计算：

$\text{GCF}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \gcd(\ldots\gcd(\gcd(a_1, a_2), a_3)\ldots, a_n)$

两个数的最小公倍数可直接由它们的最大公因数得出：

$\text{lcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\gcd(a, b)}$

计算示例

1. 两个数： $\gcd(12, 18) = 6$ 且 $\text{lcm}(12, 18) = 36$。12 的因数为 1、2、3、4、6、12，18 的因数为 1、2、3、6、9、18；它们共有的最大因数是 6。

2. 三个数： $\gcd(8, 12, 16) = 4$。8、12 和 16 都能被 4 整除，而没有更大的数能整除这三个。

3. 互质数： $\gcd(7, 13) = 1$。7 和 13 都是质数，因此除 1 之外没有公因数——它们互质。

4. 更大的集合： $\gcd(100, 75, 50) = 25$。25 能整除这三个数，而 50 不能整除 75。

实用说明

• 化简分数： 将分子和分母同时除以它们的最大公因数可将分数化为最简形式。参见分数化简计算器。
• 分数相加： 分母的最小公倍数给出最小公分母，使分数相加变得简单——与加法计算器配合使用很实用。
• 仅限正整数： 最大公因数针对整数定义。小数和负号在此没有意义，因此不应输入非整数值。
• gcd(a, 0) = a： 按照惯例，任何数与零的最大公因数为该数本身，这使得出现零时计算依然定义良好。