六边形计算器

什么是六边形计算器？

六边形计算器是面向正六边形的一体化工具，正六边形是各边相等、各角相等的六边形。输入它的任意一个量度，其余所有量便立即出现：边长、面积、周长、长对角线和短对角线、外接圆半径以及内切圆半径。它对解几何题的学生、裁切瓷砖或螺栓的工匠，以及任何排布蜂巢图案的人都很有用，因为正六边形可以无缝铺满平面，所以一再出现。

正六边形的性质

正六边形有六条相等的边和六个各为 120 度的内角。它可以被分成六个在中心相交的全等等边三角形，因此它的外接圆半径——从中心到顶点的距离——恰好等于边长。六边形有两种对角线：三条经过中心、连接相对顶点的长对角线，以及六条跳过一个顶点的短对角线。长对角线是边长的两倍，而短对角线等于边长乘以三的平方根。

计算器如何工作？

在任意一个字段中输入数值，计算器会先由它反求出边长，然后填出其余所有性质。因此你可以从边长、面积、周长、任意一条对角线、外接圆半径或内切圆半径出发，总能得到六边形的完整描述。每个长度字段都接受不同的单位，单位之间的换算会自动完成。

公式

设边长为 $a$，正六边形的面积为：

$$A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\,a^2$$

周长是边长的六倍：

$$P = 6a$$

长对角线（从顶点到相对顶点）和短对角线（从顶点跳过一个顶点）为：

$$D = 2a \qquad d = \sqrt{3}\,a$$

外接圆半径 $R$（从中心到顶点）等于边长，内切圆半径 $r$（从中心到一条边的中点，也称边心距）为：

$$R = a \qquad r = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a$$

其中 $A$ 为面积，$P$ 为周长，$D$ 和 $d$ 为长、短对角线，$R$ 为外接圆半径，$r$ 为内切圆半径，$a$ 为边长。

示例

1. 边长为 10 cm 的正六边形：

$$A = \frac{3\sqrt{3}}{2}\times 10^2 \approx 259.81 \text{ square centimeters}$$ $$P = 6 \times 10 = 60 \text{ centimeters}$$ $$D = 2 \times 10 = 20 \text{ centimeters} \qquad d = \sqrt{3}\times 10 \approx 17.32 \text{ centimeters}$$ $$R = 10 \text{ centimeters} \qquad r = \frac{\sqrt{3}}{2}\times 10 \approx 8.66 \text{ centimeters}$$

2. 从周长 60 cm 反推，边长为 $60 / 6 = 10$ cm，从而再现上面的全部数值。

实用说明

• 由于外接圆半径等于边长，正六边形恰好内接于一个半径等于边长的圆——用圆规作图时很方便。
• 内切圆半径也称为边心距；它是能放入六边形内的最大圆的半径。
• 对于边数不同的图形，正多边形面积计算器和正多边形周长计算器对这些公式进行了推广。

常见问题

如何求正六边形的面积？

将边长平方，再乘以 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$。边长为 10 时，面积为 $\frac{3\sqrt{3}}{2}\times 100 \approx 259.81$。

长对角线和短对角线有什么区别？

长对角线连接两个相对顶点并经过中心，因此等于 $2a$。短对角线连接相隔一个顶点的两个顶点，等于 $\sqrt{3}\,a$，更短。

为什么外接圆半径等于边长？

正六边形可分成六个在中心相交的等边三角形。每个三角形以从中心到顶点的距离和边长作为它两条相等的边，因此外接圆半径恰好等于边长。

六边形的边心距是什么？

边心距就是内切圆半径——从中心到一条边中点的距离。对正六边形而言，它等于 $\frac{\sqrt{3}}{2}\,a$，约为边长的 0.866 倍。