正五边形面积计算器

什么是正五边形面积计算器？

正五边形面积计算器求由五条边都相等且所有内角都等于 108° 的五边形所围成的面积。所需要的唯一测量值是边长——一旦边长已知，其他所有尺寸（边心距、对角线、外接圆半径）都由几何关系所确定。

此工具接受任意常用单位的单个边长，并以相应的平方单位返回面积。切换边或面积的单位会自动重新换算结果。

关键概念

• 边长 (s) — 正五边形五条相等边中任一条的长度。
• 边心距 (a) — 从正五边形中心到任一边中点的垂直距离。对于正五边形， $a = \frac{s}{2 \tan(36°)}$。
• 内角 — 正五边形的五个内角都等于 108°。
• 黄金比例 — 正五边形与 $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 之间有著名的联系；任何对角线与边长的比值都等于 $\varphi$。

计算器如何工作？

正五边形的面积取决于边长的平方乘以一个常数。该常数来自将正五边形分割为五个在中心相交的全等等腰三角形，分别计算各三角形的面积，然后求和。

公式

$$A = \frac{1}{4}\sqrt{5\,(5 + 2\sqrt{5})}\;s^2 \approx 1.7204774 \cdot s^2$$

当你已知边心距时，基于边心距的等价形式很有用：

$$A = \frac{1}{2}\,P\,a = \frac{5}{2}\,s\,a$$

其中 $P = 5s$ 是周长， $a$ 是边心距。

计算示例

示例 1：边 = 10 cm

$$A = \frac{1}{4}\sqrt{5\,(5 + 2\sqrt{5})} \cdot 10^2 \approx 1.7204774 \cdot 100 \approx 172.0477 \text{ cm}^2$$

示例 2：边 = 1

$$A \approx 1.7205 \text{ (平方单位)}$$

这是无量纲常数：边长为 1 的正五边形的面积。

示例 3：边 = 5

$$A \approx 1.7204774 \cdot 25 \approx 43.0119 \text{ (平方单位)}$$

示例 4：通过边心距验证

对于 $s = 10$ cm，边心距为 $a = \frac{10}{2 \tan(36°)} \approx 6.8819$ cm，因此

$$A = \frac{5}{2} \cdot 10 \cdot 6.8819 \approx 172.0477 \text{ cm}^2$$

这与示例 1 一致。

实际用途

• 建筑与设计 — 布置五边形地板、瓷砖、凉亭或窗户。
• 工程 — 螺栓、螺母和结构构件的五边形横截面尺寸设计。
• 制图与规划 — 估算五边形地块或建筑物的占地面积（阿灵顿的五角大楼是最著名的例子）。
• 数学与教育 — 阐明黄金比例，证明正多边形具有闭合形式的面积公式，并与适用于一般 $n$ 的正多边形面积计算器进行比较。

备注

• 边长必须为正数，结果才有意义；边长为零得出面积为零。
• 边和面积的单位是对应的：以米为单位的边给出以平方米为单位的面积。切换单位选择器后，结果会自动重新换算。
• 对于其他正多边形，请参阅正六边形面积计算器和正八边形面积计算器。