加权平均值计算器

什么是加权平均值计算器？

加权平均值计算器是一种工具，当某些数值比其他数值更重要时，它可以求出一组数值的平均值。在简单平均中，每个数字的权重相同，但在许多现实情形中这种假设是错误的：期末考试应该比一次简短的测验占更大比重，适用于许多单位的价格应该比仅适用于少数单位的价格更能影响整体数字。通过为每个数值赋予一个权重，该计算器让更重要的条目把结果拉向自己，从而得出比简单平均更忠实地反映数据的数字。

简单平均与加权平均

简单平均把数值相加，再除以数值的个数。只有当每个数值同等重要时，它才是正确的选择。

而加权平均则把每个数值乘以它的权重，把这些乘积相加，再除以权重之和。每当条目在重要性、样本量、频率或贡献上有所不同时，加权平均就是正确的工具。当所有权重相等时，加权平均又会退化为普通平均。

公式

具有权重 $w_1, w_2, \dots, w_n$ 的 $n$ 个数值 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 的加权平均为：

$$\bar{x} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \dots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \dots + w_n}$$

用求和符号可以简洁地写为：

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}$$

其中：

• $x_i$ 是每个单独的数值，
• $w_i$ 是赋予该数值的权重，
• $n$ 是数值-权重对的数量。

分母是所有权重之和。如果该和为零，则加权平均无定义，计算器不返回任何结果。

计算器如何工作？

要使用加权平均值计算器，请按照以下步骤操作：

1. 输入每个数值，各占一行，并附上您想赋予它的权重。您可以根据需要添加任意多行。

2. 确保每个数值都有权重。 只有数值而没有权重的行会被跳过，因为没有权重它就无法对平均值作出贡献。

3. 读取结果。 计算器返回加权平均值以及它所使用的数值-权重对的数量，并在您输入时自动更新。

计算示例

对成绩加权

假设三项作业分别得到 90、80 和 70 分，它们的重要性单位分别为 3、2 和 1。把每个分数乘以它的权重，将乘积相加，再除以总权重：

$$\frac{(90 \cdot 3) + (80 \cdot 2) + (70 \cdot 1)}{3 + 2 + 1} = \frac{270 + 160 + 70}{6} = \frac{500}{6} \approx 83.33$$

加权平均约为 83.33，高于简单平均的 80，因为最高分拥有最大的权重。

按数量对价格加权

设想以三种不同价格购买同一种商品：5 单位每个 19.99 美元，3 单位每个 13.99 美元，2 单位每个 25.00 美元。按购买数量对每个价格加权：

$$\frac{(19.99 \cdot 5) + (13.99 \cdot 3) + (25.00 \cdot 2)}{5 + 3 + 2} = \frac{99.95 + 41.97 + 50.00}{10} = \frac{191.92}{10} = 19.19$$

每单位支付的平均价格为 19.19 美元。

相等的权重退化为简单平均

如果给 10 和 20 这两个数值各赋予权重 1，则加权平均等于普通平均：

$$\frac{(10 \cdot 1) + (20 \cdot 1)}{1 + 1} = \frac{30}{2} = 15$$

结果是 15，恰好是简单平均。

实际应用

1. 成绩与平均绩点。 学校用反映每个组成部分在最终成绩中所占比重的权重，把考试、测验和作业的分数结合起来。

2. 金融与定价。 投资者和买家按每个数字所代表的金额或单位数量进行加权，计算加权平均成本、收益率或价格。

3. 调查与统计。 分析人员按每次测量的样本量对其加权，从而把规模不等的各组的测量结果合并在一起。

常见问题

如果权重之和为零会怎样？

加权平均要除以权重之和，因此总和为零会使结果保持无定义。在这种情况下，计算器不显示任何结果。如果您把相互抵消的正权重和负权重混在一起，就可能出现这种情况。

权重必须加起来等于 1 或 100% 吗？

不必。权重可以是任意刻度上的任意数字，因为公式会除以它们的总和。使用加起来为 1 的分数、加起来为 100 的百分比，或整数计数，对于相同的比例都会得到相同的结果。

它与简单的平均值计算器有什么区别？

平均值计算器把每个数字都视为同等重要，而本工具允许您为每个数值赋予不同的权重。要对带有可选样本量的百分比求平均，请使用平均百分比计算器。