掷硬币概率计算器

什么是掷硬币概率计算器？

掷硬币概率计算器用于计算当你多次掷硬币时，出现特定次数正面的可能性有多大。每次掷硬币都是一次独立试验，有两种可能结果——正面或反面——因此一系列掷硬币遵循二项分布。该计算器可以回答诸如「10 次掷硬币中正好出现 5 次正面的概率是多少？」或「3 次掷硬币中至少出现 2 次正面的概率是多少？」之类的问题。

它适用于公平硬币和有偏硬币。你可以将正面概率 $p$ 设为 0 到 1 之间的任意值，因此同一工具也适用于加重硬币以及任何其他重复固定次数的是/否实验。

计算器如何工作？

你需要提供三个输入并选择计算内容：

• 抛掷次数 ($n$) — 硬币被抛掷的次数（整数 $\ge 1$）。
• 正面次数 ($k$) — 你关注的正面次数（整数，满足 $0 \le k \le n$）。
• 正面概率 ($p$) — 单次抛掷出现正面的概率，介于 0 和 1 之间（公平硬币为 0.5）。

计算选项用于选择三个问题之一：

• 恰好 k 次正面 — 正好出现 $k$ 次正面的概率。
• 至多 k 次正面 — 出现 $k$ 次或更少正面的累积概率。
• 至少 k 次正面 — 出现 $k$ 次或更多正面的累积概率。

结果以介于 0 和 1 之间的概率（保留六位小数）以及百分比形式显示。

公式

在 $n$ 次抛掷中正好出现 $k$ 次正面的概率是二项概率质量函数：

$$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}$$

其中二项系数为

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}$$

累积情形对各项求和：

$$P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i}\, p^{i} (1-p)^{n-i}$$ $$P(X \ge k) = \sum_{i=k}^{n} \binom{n}{i}\, p^{i} (1-p)^{n-i}$$

计算示例

1. 10 次公平抛掷中正好 5 次正面。 当 $n = 10$、$k = 5$、$p = 0.5$ 时：$\binom{10}{5} = 252$，因此 $P = 252 \times 0.5^{5} \times 0.5^{5} = 252 / 1024 \approx 0.246094$（约 24.61%）。

2. 2 次公平抛掷中正好 1 次正面。 当 $n = 2$、$k = 1$、$p = 0.5$ 时：$\binom{2}{1} = 2$，因此 $P = 2 \times 0.5 \times 0.5 = 0.5$（50%）。

3. 3 次公平抛掷中至少 2 次正面。 当 $n = 3$、$k = 2$、$p = 0.5$ 时：$P(X \ge 2) = P(2) + P(3) = 0.375 + 0.125 = 0.5$（50%）。

实用说明

• 当 $k = 0$ 且选择「至少」时，结果始终为 1；当 $k = n$ 且选择「至多」时，结果始终为 1，因为任何结果都满足条件。
• 对于有偏硬币，请更改 $p$。例如，$n = 5$、$k = 2$、$p = 0.3$ 得出 $\binom{5}{2} \times 0.3^{2} \times 0.7^{3} = 0.3087$。
• 二项模型假设各次抛掷相互独立，且每次抛掷的 $p$ 保持不变。

要探索相关概念，请参阅贝叶斯定理计算器以根据证据更新概率，或平均值计算器以汇总数据。