置信区间计算器

什么是置信区间？

置信区间是未知总体参数（此处为总体均值）的一组合理取值范围。它不报告单一的点估计，而是通过下界和上界来表达该估计的不确定性。

例如，95% 置信区间意味着如果你多次重复相同的抽样过程，所构造的区间中约有 95% 会包含真实均值。区间的宽度取决于数据的变异程度、观测的数量以及你希望达到的把握程度。

本计算器使用 z（正态）近似，当总体标准差已知或样本足够大以使中心极限定理成立时，该方法是适用的。

计算器如何工作？

你需要提供四项信息：

• 样本均值 (x̄)：观测值的平均数。
• 标准差 (σ)：数据的离散程度；必须为正。
• 样本量 (n)：观测的个数；不小于 1 的整数。
• 置信水平：你希望达到的把握程度：90%、95% 或 99%。

每个置信水平对应一个临界 z 值：

计算器返回误差范围、下界和上界。

公式

均值的标准误为：

$$SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

误差范围将标准误按临界 z 值缩放：

$$E = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

于是均值的置信区间为：

$$\bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

计算示例

示例 1：x̄ = 100，σ = 15，n = 36，95%

标准误为：

$$SE = \frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2.5$$

当 z = 1.96 时，误差范围为：

$$E = 1.96 \times 2.5 = 4.9$$

因此 95% 置信区间为 [95.1, 104.9]。

示例 2：x̄ = 50，σ = 10，n = 25，99%

标准误为：

$$SE = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$

当 z = 2.576 时，误差范围为：

$$E = 2.576 \times 2 = 5.152$$

因此 99% 置信区间为 [44.848, 55.152]。

实用说明

• 更高的置信水平会使区间变宽：要更有把握地涵盖真实均值，就需要更大的范围。
• 更大的样本量会使区间变窄，因为标准误随 √n 减小。
• z 近似假设均值的抽样分布近似正态。对于标准差未知的小样本，t 区间通常更精确。
• 误差范围是对称的，因此区间始终以样本均值为中心。