Z 分数计算器

什么是 Z 分数？

Z 分数（也称为标准分数）告诉您单个值与其组的平均值相距多远，以标准差为单位测量。Z 分数为 0 意味着该值正好处于平均水平。正的 Z 分数意味着该值高于平均；负的则意味着它低于平均。由于单位是”标准差”而非美元、厘米或考试分数，因此 Z 分数让您可以比较来自完全不同尺度的数字。

此计算器在四个方向上工作。选择您想要找的内容，填写其他三个框，它就会求解缺失的那个：Z 分数本身、原始值 x、均值 μ 或标准差 σ。

计算器如何工作？

Z 分数是一个值与均值之间的差距除以标准差：

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

其中：

• x 是您正在评分的原始值。
• μ (mu) 是总体或样本的均值。
• σ (sigma) 是标准差，必须大于零。

同一方程可以重新排列以分离其他任何量：

$$x = \mu + z\sigma \qquad \mu = x - z\sigma \qquad \sigma = \frac{x - \mu}{z}$$

计算器只需应用与您选择的值相匹配的重新排列，因此您从不必手动进行代数运算。

示例

1. 求 Z 分数。 一名学生在一次考试中得到 x = 85，其中班级均值为 μ = 70，标准差为 σ = 10。 $z = \frac{85 - 70}{10} = 1.5$ 该分数比平均高 1.5 个标准差。

2. 等于均值的值。 当 x = 70、μ = 70、σ = 10 时： $z = \frac{70 - 70}{10} = 0$ 该值正好落在均值上，因此其 Z 分数为 0。

3. 求解原始值。 您知道 Z 分数为 z = 2，均值为 μ = 100，标准差为 σ = 15。将计算器切换为求原始值： $x = 100 + 2 \times 15 = 130$ 值 130 比均值高两个标准差。

实践笔记

• 标准差必须为正。标准差为零将意味着每个值都相同，使 Z 分数无定义。
• 负的 Z 分数是正常且预期的 — 它们只是描述低于均值的值。
• 当您拥有整个组的数据时使用总体均值和标准差，而当您从子集进行处理时使用样本版本。
• 一旦有了 Z 分数，您就可以在标准正态表中查找它以估计百分位数和概率。

常见问题

Z 分数可以为负吗？

可以。任何低于均值的值都会产生负的 Z 分数。例如，比均值低 1.5 个标准差的值的 Z 分数为 -1.5。

Z 分数为 0 意味着什么？

它意味着该值正好等于均值。与平均没有偏差。

为什么标准差必须大于零？

公式要除以 σ。如果标准差为零，除法将无定义，而在实践中这将意味着数据完全没有离散。

Z 分数与百分位数相同吗？

不直接相同。Z 分数以标准差测量与均值的距离，而百分位数报告落在某点以下的值的比例。您可以使用标准正态分布表将 Z 分数转换为百分位数。