Sehnenlängenrechner

Was ist ein Sehnenlängenrechner?

Eine Sehne ist eine gerade Strecke, deren beide Endpunkte auf einem Kreis liegen. Die längste Sehne eines Kreises ist sein Durchmesser; jede andere Sehne ist kürzer und wird von einem Zentralwinkel „aufgespannt” — dem Winkel, der im Mittelpunkt durch die beiden zu den Sehnenendpunkten gezogenen Radien gebildet wird.

Dieser Rechner ermittelt einen der drei Werte — Sehnenlänge, Radius oder Zentralwinkel —, wenn die anderen beiden bekannt sind. Der Winkel kann in Grad oder Radianten eingegeben werden, und Radius und Sehne lassen sich in jeder gängigen Längeneinheit angeben.

Wichtige Konzepte

• Radius (r) — der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem Punkt auf seiner Grenze.
• Zentralwinkel (θ) — der Winkel, der im Mittelpunkt des Kreises durch die beiden zu den Sehnenendpunkten gezogenen Radien gebildet wird.
• Sehne (c) — der geradlinige Abstand zwischen den beiden Endpunkten des Bogens, der den Kreis durchschneidet, statt seiner Krümmung zu folgen.
• Durchmesser — der Sonderfall einer Sehne, die durch den Mittelpunkt verläuft. Er hat die Länge $2r$ und entspricht einem Zentralwinkel von 180°.

Die Sehne und die Bogenlänge beschreiben dasselbe Paar von Endpunkten aus zwei verschiedenen Perspektiven: die Sehne ist die gerade Abkürzung, der Bogen ist der Weg entlang des Kreises.

Wie funktioniert der Rechner?

Die Sehne, die beiden Radien zu ihren Endpunkten und das vom Mittelpunkt gefällte Lot bilden zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Die halbe Sehne, der Radius und der halbe Zentralwinkel erfüllen

was umgestellt zu den Formeln führt, die der Rechner verwendet.

Formeln

Sehne aus Radius und Zentralwinkel:

Radius aus Sehne und Zentralwinkel:

Zentralwinkel aus Sehne und Radius:

In Grad ersetzen Sie $\theta$ durch $\theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$, oder lesen Sie den Winkel direkt vom Rechner ab, nachdem Sie die Einheitenauswahl umgestellt haben.

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1: Sehne aus Radius und Winkel

Ein Kreis hat einen Radius von 10 cm und einen Zentralwinkel von 60°. Die von diesem Winkel ausgeschnittene Sehne ist

Dies ist die bekannte Identität, dass die Sehne eines 60°-Winkels dem Radius entspricht — das gebildete Dreieck ist gleichseitig.

Beispiel 2: Sehne gleich Durchmesser bei 180°

Für einen Radius von 5 m und einen Zentralwinkel von 180° (oder $\pi$ Radianten) erstreckt sich die Sehne quer durch den ganzen Kreis:

Dies ist der Durchmesser des Kreises.

Beispiel 3: Radius aus Sehne und Winkel

Eine 10 cm lange Sehne wird von einem Zentralwinkel von 60° ausgeschnitten. Der Radius des Kreises ist

Beispiel 4: Winkel aus Sehne und Radius

Eine 10 cm lange Sehne wird in einen Kreis mit Radius 10 cm gezeichnet. Der Zentralwinkel ist

Beispiel 5: Sehne eines Viertelkreises

Für einen Winkel von 90° auf einem Kreis mit Radius 1 beträgt die Sehne $c = 2 \sin(45°) = \sqrt{2} \approx 1.4142$, während die Bogenlänge desselben Winkels $\pi/2 \approx 1.5708$ beträgt. Der Bogen ist stets etwas länger als die Sehne.

Praktische Anwendungen

• Ingenieurwesen — Auslegen von Riemen und Riemenscheiben, bei denen der geradlinige Abstand zwischen den Kontaktpunkten zweier Räder eine Sehne jedes Rades ist.
• Architektur und Tischlerei — Messen quer über einen Bogen oder ein gebogenes Fenster, wobei die Sehne die Spannweite und die Bogenlänge das entlang der Kurve benötigte Material angibt.
• Vermessung — Festlegen von Positionen auf dem Boden ausgehend von kreisförmigen Referenzpunkten; Sehnenmessungen sind einfacher zu markieren als Bögen.
• Astronomie — Berechnung des scheinbaren Durchmessers entfernter Körper, wobei die Sehne über einen kreisförmigen Querschnitt der beobachteten Ausdehnung entspricht.
• Geometrie und Trigonometrie — die Sehnen-Winkel-Beziehung ist eine der ursprünglichen Definitionen der Sinusfunktion und erscheint nach wie vor in Berechnungen zu Kreissektor und Kreissegment.

Hinweise

• Die Sehne kann nie länger sein als der Durchmesser ($c \le 2r$). Wenn Sie eine längere Sehne eingeben, ist der Winkel undefiniert und der Rechner liefert kein Ergebnis.
• Ein Winkel von 0° ergibt eine Sehne von 0 — die Endpunkte fallen zusammen.
• Ein Winkel von 180° ergibt den Durchmesser; Winkel größer als 180° laufen um und liefern dieselbe Sehne wie ihre Ergänzung (z. B. liefern 200° und 160° identische Sehnen).
• Beim Auflösen nach dem Radius aus einer Sehne und einem Winkel darf der Winkel nicht 0 sein; beim Auflösen nach dem Winkel darf der Radius nicht 0 sein.
• Radius und Sehne teilen sich die Einheiten: Beim Wechsel der Einheitenauswahl wird das Ergebnis automatisch umgerechnet.