Kreuzprodukt-Rechner

Was ist ein Kreuzprodukt-Rechner?

Ein Kreuzprodukt-Rechner findet den Vektor, der durch die Multiplikation zweier dreidimensionaler Vektoren mit dem Kreuzprodukt (oder Vektorprodukt) entsteht. Anders als das Skalarprodukt, das eine einzelne Zahl liefert, liefert das Kreuzprodukt einen neuen Vektor. Dieser Vektor steht senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren, und seine Länge entspricht der Fläche des Parallelogramms, das sie aufspannen.

Gegeben seien zwei Vektoren $\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$ und $\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)$, liefert dieses Werkzeug die drei Komponenten von $\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$.

Formel

Das Kreuzprodukt ist Komponente für Komponente definiert als:

Die drei Ausgabekomponenten sind also:

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x$

Anwendung

1. Geben Sie die drei Komponenten des Vektors $\mathbf{a}$ ein: $a_x$, $a_y$ und $a_z$.
2. Geben Sie die drei Komponenten des Vektors $\mathbf{b}$ ein: $b_x$, $b_y$ und $b_z$.
3. Sobald alle sechs Werte ausgefüllt sind, zeigt der Rechner $c_x$, $c_y$ und $c_z$ an — die Komponenten des resultierenden Vektors $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$.

Negative Eingaben werden vollständig unterstützt. Die Reihenfolge ist entscheidend: $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$, sodass das Vertauschen der beiden Vektoren das Vorzeichen jeder Komponente umkehrt.

Rechenbeispiel

Nehmen Sie $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$ und $\mathbf{b} = (4, 5, 6)$.

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$

Also gilt $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)$.

FAQ

Warum ist das Kreuzprodukt ein Vektor, während das Skalarprodukt eine Zahl ist?

Das Skalarprodukt misst, wie stark zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen, was eine einzelne skalare Größe ist. Das Kreuzprodukt misst stattdessen die orientierte Fläche, die sie aufspannen, und zeigt in eine zu beiden senkrechte Richtung, sodass es natürlicherweise drei Komponenten benötigt, um sowohl diesen Betrag als auch diese Richtung zu beschreiben.

Was bedeutet es, wenn das Kreuzprodukt der Nullvektor ist?

Wenn $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (0, 0, 0)$ ist, sind die beiden Vektoren parallel (oder einer von ihnen ist der Nullvektor). Parallele Vektoren spannen keine Fläche auf, sodass das senkrechte Ergebnis zu nichts zusammenfällt.