Dezimalzahl in Verhältnis umwandeln

Was ist ein Rechner zur Umwandlung von Dezimalzahlen in Verhältnisse?

Ein Rechner zur Umwandlung von Dezimalzahlen in Verhältnisse wandelt eine einzelne Dezimalzahl in ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen um, das als $a : b$ geschrieben wird. Ein Verhältnis vergleicht zwei Größen, und viele alltägliche Dezimalzahlen — Quoten, Mischungsverhältnisse, Seitenmaße, Zähnezahlen von Zahnrädern — lassen sich leichter lesen und nachvollziehen, wenn sie als sauberes Paar ganzer Zahlen statt als lange Dezimalzahl ausgedrückt werden.

Zum Beispiel beschreibt die Dezimalzahl $0.75$ dieselbe Beziehung wie das Verhältnis $3 : 4$: Auf jeweils 3 Teile der einen Größe kommen 4 Teile des Ganzen. Der Rechner übernimmt die Berechnung und die Vereinfachung für Sie und liefert die kleinstmöglichen ganzzahligen Terme.

Wie funktioniert es?

Eine endliche Dezimalzahl ist lediglich ein Bruch, dessen Nenner eine Zehnerpotenz ist. Der Rechner folgt drei Schritten:

1. Lesen Sie die Dezimalzahl als Bruch über einer festen Zehnerpotenz (dem Nenner).
2. Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von Zähler und Nenner.
3. Teilen Sie beide Terme durch den ggT, sodass das Verhältnis vollständig gekürzt ist.

Der gekürzte Zähler wird zum ersten Term (dem Vorderglied) und der gekürzte Nenner zum zweiten Term (dem Hinterglied).

Formel

Für eine Dezimalzahl $x$ mit Nenner $d$ (eine Zehnerpotenz, die groß genug ist, um die Dezimalstellen zu beseitigen):

$a = \frac{\text{round}(|x| \cdot d)}{\gcd(\text{round}(|x| \cdot d),\, d)}$

$b = \frac{d}{\gcd(\text{round}(|x| \cdot d),\, d)}$

Das Ergebnis ist das Verhältnis $a : b$. Eine negative Dezimalzahl behält ihr Vorzeichen am ersten Term, zum Beispiel $-0.75 \rightarrow -3 : 4$.

Beispiele

1. Umwandlung von $0.75$:

   • Über $100$ ergibt dies $\frac{75}{100}$.
   • $\gcd(75, 100) = 25$, also ergibt das Teilen $\frac{3}{4}$.
   • Verhältnis: $3 : 4$.

2. Umwandlung von $0.5$:

   • Über $10$ ergibt dies $\frac{5}{10}$.
   • $\gcd(5, 10) = 5$, also ergibt das Teilen $\frac{1}{2}$.
   • Verhältnis: $1 : 2$.

3. Umwandlung von $2.5$:

   • Über $10$ ergibt dies $\frac{25}{10}$.
   • $\gcd(25, 10) = 5$, also ergibt das Teilen $\frac{5}{2}$.
   • Verhältnis: $5 : 2$.

4. Umwandlung von $0.2$:

   • Über $10$ ergibt dies $\frac{2}{10}$.
   • $\gcd(2, 10) = 2$, also ergibt das Teilen $\frac{1}{5}$.
   • Verhältnis: $1 : 5$.

Praktische Hinweise

• Das Verhältnis wird stets in kleinsten Termen zurückgegeben, sodass $0.50$ und $0.5$ beide $1 : 2$ ergeben.
• Ein Verhältnis wie $5 : 2$ ist größer als eins; das bedeutet einfach, dass die erste Größe größer ist als die zweite.
• Wenn Sie das Ergebnis stattdessen als Bruch benötigen, entspricht das Verhältnis $a : b$ dem Bruch $\frac{a}{b}$ — siehe den Rechner zur Umwandlung von Dezimalzahlen in Brüche oder wandeln Sie ein Verhältnis mit dem Rechner zur Umwandlung von Verhältnissen in Brüche zurück.

FAQs

Was bedeutet “gekürztes Verhältnis”?

Ein gekürztes Verhältnis verwendet die kleinsten ganzen Zahlen, die dasselbe Verhältnis bewahren. Die Terme haben keinen gemeinsamen Teiler außer 1, weshalb $\frac{75}{100}$ als $3 : 4$ statt als $75 : 100$ dargestellt wird.

Kann es Zahlen größer als eins verarbeiten?

Ja. Dezimalzahlen über eins, wie $2.5$, erzeugen Verhältnisse, bei denen der erste Term größer ist als der zweite, wie etwa $5 : 2$.

Wie werden negative Dezimalzahlen behandelt?

Das Vorzeichen wird an den ersten Term des Verhältnisses angehängt. Zum Beispiel wird $-0.75$ zu $-3 : 4$.