Rechner für Teilbarkeitsregeln

Was ist ein Rechner für Teilbarkeitsregeln?

Ein Rechner für Teilbarkeitsregeln nimmt eine einzelne ganze Zahl $N$ und zeigt Ihnen auf einen Blick, durch welche kleinen Teiler sie teilbar ist. Dieses Werkzeug prüft jeden Teiler von 2 bis 12 und antwortet für jeden mit Ja oder Nein. Eine Zahl ist durch $d$ teilbar, wenn die Division keinen Rest lässt — das heißt, wenn $N$ als $d$ multipliziert mit einer anderen ganzen Zahl geschrieben werden kann.

Teilbarkeit ist eine der nützlichsten Ideen der Arithmetik. Sie erlaubt es Ihnen, Brüche zu kürzen, gemeinsame Faktoren zu finden, Primzahlen zu erkennen und Mengen in gleiche Gruppen aufzuteilen, ohne jedes Mal eine schriftliche Division durchzuführen.

Was bedeutet „teilbar”?

Wir sagen, $N$ ist durch $d$ teilbar, wenn der Rest der Division null ist:

$$N \bmod d = 0$$

Gleichbedeutend gibt es eine ganze Zahl $k$, sodass:

$$N = d \times k$$

Zum Beispiel ist 60 durch 12 teilbar, weil $60 = 12 \times 5$ ist und kein Rest bleibt. Dagegen ist 60 nicht durch 7 teilbar, weil $60 = 7 \times 8 + 4$ — es bleibt ein Rest von 4 übrig.

Da $0 \bmod d = 0$ für jeden von null verschiedenen $d$ gilt, ist die Zahl 0 durch jeden Teiler teilbar. Der Rechner behandelt 0 als gültige Eingabe und antwortet im gesamten Raster mit Ja.

Wie funktioniert der Rechner?

Sie geben eine ganze Zahl ein, und der Rechner wendet für jeden Teiler von 2 bis 12 eine bekannte Teilbarkeitsregel an. Jede Regel ist eine Abkürzung, die die vollständige Division vermeidet, indem sie nur die Ziffern der Zahl betrachtet.

Teilbarkeit durch 2

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist — ihre letzte Ziffer ist 0, 2, 4, 6 oder 8. Beispiel: 60 endet auf 0, also ist sie durch 2 teilbar.

Teilbarkeit durch 3

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme durch 3 teilbar ist. Für 60: $6 + 0 = 6$, und 6 ist durch 3 teilbar, also ist 60 durch 3 teilbar.

Teilbarkeit durch 4

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. Für 60 bilden die letzten beiden Ziffern 60, und $60 = 4 \times 15$, also ist 60 durch 4 teilbar.

Teilbarkeit durch 5

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 oder 5 ist. Beispiel: 60 endet auf 0, also ist sie durch 5 teilbar.

Teilbarkeit durch 6

Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist. Da 60 die Tests für 2 und 3 besteht, ist sie durch 6 teilbar.

Teilbarkeit durch 7

Nehmen Sie die letzte Ziffer, verdoppeln Sie sie und ziehen Sie sie vom Rest der Zahl ab. Ist das Ergebnis durch 7 teilbar, so ist es auch die ursprüngliche Zahl. Für 91: Entfernen Sie die 1, verdoppeln Sie sie zu 2, dann $9 - 2 = 7$. Da 7 durch 7 teilbar ist, ist es auch 91 — tatsächlich $91 = 7 \times 13$.

Teilbarkeit durch 8

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die aus ihren letzten drei Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist. Bei Zahlen mit weniger als drei Ziffern prüfen Sie einfach die ganze Zahl.

Teilbarkeit durch 9

Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist. Für 60: $6 + 0 = 6$, was nicht durch 9 teilbar ist, also ist 60 nicht durch 9 teilbar.

Teilbarkeit durch 10

Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer 0 ist. Beispiel: 60 endet auf 0, also ist sie durch 10 teilbar.

Teilbarkeit durch 11

Addieren und subtrahieren Sie die Ziffern in einem abwechselnden Muster (von rechts nach links) und prüfen Sie, ob das Ergebnis durch 11 teilbar ist (null zählt als teilbar). Für 121: $1 - 2 + 1 = 0$, also ist 121 durch 11 teilbar.

Teilbarkeit durch 12

Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn sie sowohl durch 3 als auch durch 4 teilbar ist. Da 60 die Tests für 3 und 4 besteht, ist sie durch 12 teilbar.

Formel

Der allgemeine Test für einen beliebigen Teiler $d$ beruht auf der Modulo-Operation (Rest):

$$N \text{ is divisible by } d \iff N \bmod d = 0$$

Viele Regeln bauen auf der Tatsache auf, dass eine Zahl kongruent zu einer einfachen Kombination ihrer Ziffern ist. Für die Quersummenregeln (3 und 9) gilt, wenn $N$ die Ziffern $a_i$ hat, dann:

$$N \equiv \sum_i a_i \pmod{9}$$

sodass $N$ genau dann durch 3 oder 9 teilbar ist, wenn es seine Quersumme ist. Für 11 gilt die alternierende Summe, weil $10 \equiv -1 \pmod{11}$:

$$N \equiv \sum_i (-1)^i a_i \pmod{11}$$

Durchgerechnete Beispiele

Beispiel 1: N = 60

• Teilbar durch 2, 3, 4, 5, 6, 10 und 12 → Ja
• Teilbar durch 7, 8, 9 und 11 → Nein

Die Zahl 60 ist hochzusammengesetzt, was genau der Grund ist, warum Kalender, Uhren und Maßsysteme sie bevorzugen: Sie lässt sich gleichmäßig in Hälften, Drittel, Viertel, Fünftel, Sechstel und Zwölftel teilen.

Beispiel 2: N = 91

• Teilbar durch 7 → Ja (weil $91 = 7 \times 13$)
• Teilbar durch 2 → Nein (91 ist ungerade)
• Teilbar durch 3 → Nein (Quersumme $9 + 1 = 10$ ist nicht durch 3 teilbar)

Beispiel 3: N = 0

Null ist durch jeden Teiler teilbar, da $0 \bmod d = 0$ für jeden $d$ gilt. Der Rechner antwortet für alle Zahlen von 2 bis 12 mit Ja.

Praktische Hinweise

• Die Regeln gelten für ganze Zahlen. Negative Zahlen folgen denselben Regeln wie ihre Beträge — zum Beispiel verhält sich −60 wie 60.
• Teilbarkeitsregeln sind der schnellste Weg, einen Bruch auf seine niedrigste Form zu kürzen: Finden Sie einen Teiler, der sowohl den Zähler als auch den Nenner teilt, und kürzen Sie ihn.
• Um jeden Teiler einer Zahl zu finden, anstatt nur 2 bis 12 zu prüfen, verwenden Sie den Faktor-Rechner.
• Um mehrere Zahlen zu kombinieren, bauen der Rechner für das kleinste gemeinsame Vielfache und der Rechner für den größten gemeinsamen Teiler direkt auf der Teilbarkeit auf.

Häufig gestellte Fragen

Ist jede Zahl durch 1 teilbar?

Ja. Jede ganze Zahl ist durch 1 und durch sich selbst teilbar, weshalb das Teilbarkeitsraster bei 2 beginnt — dem ersten nicht-trivialen Teiler.

Warum ist 0 durch jede Zahl teilbar?

Weil $0 \bmod d = 0$ für jeden von null verschiedenen Teiler $d$ gilt: Die Division von 0 durch eine beliebige Zahl lässt keinen Rest. Beachten Sie, dass die Division durch 0 undefiniert ist, weshalb 0 niemals als Teiler auftritt.

Gibt es eine einzige Regel für die Teilbarkeit durch 6 oder 12?

Keinen eigenen Ziffern-Trick — man kombiniert einfachere Regeln. Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie sowohl den 2- als auch den 3-Test besteht, und durch 12 teilbar, wenn sie sowohl den 3- als auch den 4-Test besteht.