ggT-Rechner (Größter gemeinsamer Teiler)

Was ist der größte gemeinsame Teiler?

Der größte gemeinsame Teiler (ggT), auch höchster gemeinsamer Faktor genannt, ist die größte positive ganze Zahl, die jede Zahl einer gegebenen Menge ohne Rest teilt. Zum Beispiel ist der ggT von 12 und 18 gleich 6, denn 6 ist die größte Zahl, die sowohl 12 als auch 18 ohne Rest teilt.

Dieser Rechner findet den ggT von zwei oder mehr positiven ganzen Zahlen. Als Zusatz gibt er auch das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) aus: die kleinste positive ganze Zahl, die ein Vielfaches jeder Zahl der Menge ist.

Wie funktioniert der Rechner?

Gib deine Zahlen in die wiederholbaren Zeilen ein — füge so viele hinzu, wie du brauchst. Der Rechner ignoriert leere Zeilen und benötigt mindestens zwei Zahlen, um ein Ergebnis zu liefern. Anschließend wendet er den euklidischen Algorithmus auf die gesamte Liste an, um den ggT zu erhalten, und nutzt dieses Ergebnis zur Berechnung des kgV.

Der euklidische Algorithmus findet den ggT zweier Zahlen, indem er wiederholt die größere Zahl durch den Rest der Division der größeren durch die kleinere ersetzt, bis der Rest null ist. Der letzte von null verschiedene Wert ist der ggT. Für eine ganze Liste wird der ggT paarweise berechnet: ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a, b), c), und so weiter.

Formeln

Der ggT einer Zahlenliste wird durch paarweises Falten des ggT berechnet:

$\text{GCF}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \gcd(\ldots\gcd(\gcd(a_1, a_2), a_3)\ldots, a_n)$

Das kgV zweier Zahlen folgt direkt aus ihrem ggT:

$\text{lcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\gcd(a, b)}$

Gelöste Beispiele

1. Zwei Zahlen: $\gcd(12, 18) = 6$ und $\text{lcm}(12, 18) = 36$. Die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6, 12 und von 18 sind 1, 2, 3, 6, 9, 18; der größte gemeinsame Teiler ist 6.

2. Drei Zahlen: $\gcd(8, 12, 16) = 4$. Jede der Zahlen 8, 12 und 16 ist durch 4 teilbar, und nichts Größeres teilt alle drei.

3. Teilerfremde Zahlen: $\gcd(7, 13) = 1$. Sowohl 7 als auch 13 sind Primzahlen, sie haben also keinen gemeinsamen Teiler außer 1 — sie sind teilerfremd.

4. Größere Menge: $\gcd(100, 75, 50) = 25$. Die Zahl 25 teilt alle drei, während 50 die 75 nicht teilt.

Praktische Hinweise

• Brüche kürzen: Teilt man Zähler und Nenner durch ihren ggT, wird ein Bruch vollständig gekürzt. Siehe den Rechner zum Kürzen von Brüchen.
• Brüche addieren: Das kgV der Nenner ergibt den kleinsten gemeinsamen Nenner, was das Addieren von Brüchen vereinfacht — nützlich zusammen mit dem Additionsrechner.
• Nur positive ganze Zahlen: Der ggT ist für ganze Zahlen definiert. Dezimalzahlen und negative Vorzeichen sind hier nicht sinnvoll, daher sind nicht ganzzahlige Eingaben nicht vorgesehen.
• ggT(a, 0) = a: Per Konvention ist der größte gemeinsame Teiler einer beliebigen Zahl und null die Zahl selbst, was die Berechnung beim Auftreten von Nullen wohldefiniert hält.