Arkuskosinus-Rechner

Was ist ein Arkuskosinus-Rechner?

Der Arkuskosinus-Rechner beantwortet die Frage „Welcher Winkel hat diesen Kosinus?”. Die Kosinusfunktion nimmt einen Winkel und gibt ein Verhältnis zwischen -1 und 1 zurück. Der Arkuskosinus, geschrieben als $\arccos$ oder $\cos^{-1}$, kehrt diesen Vorgang um: Du gibst ihm einen Wert $x$ im Intervall $[-1, 1]$, und er liefert den Winkel $\theta$, dessen Kosinus gleich $x$ ist.

Dieser Rechner gibt das Ergebnis gleich in zwei Einheiten aus: in Grad und in Radiant. Das ist praktisch, egal ob du an einem Geometrieproblem in Grad oder an einem Analysis- oder Physikproblem in Radiant arbeitest.

Wie funktioniert es?

Der Kosinus eines Winkels ist die x-Koordinate des zugehörigen Punktes auf dem Einheitskreis. Für jeden Wert von $x$ zwischen -1 und 1 gibt es unendlich viele Winkel mit diesem Kosinus, daher ist der Arkuskosinus so definiert, dass er einen einzigen Hauptwert im folgenden Bereich zurückgibt:

$0 \le \theta \le 180^\circ \quad (0 \le \theta \le \pi \text{ radians})$

Der Zusammenhang lautet:

$\theta = \arccos(x)$

Da der Kosinus das Intervall $[-1, 1]$ nie verlässt, hat jede Eingabe außerhalb dieses Bereichs keinen zugehörigen reellen Winkel, und der Rechner gibt einfach kein Ergebnis zurück.

Um den Hauptwert von Radiant in Grad umzurechnen, multipliziere mit $\frac{180}{\pi}$:

$\theta_{\deg} = \arccos(x) \times \frac{180}{\pi}$

Gelöste Beispiele

• $\arccos(0.5) = 60^\circ$, was etwa $1.0472$ Radiant entspricht ($\frac{\pi}{3}$).
• $\arccos(1) = 0^\circ$, oder $0$ Radiant, da der Kosinus eines Nullwinkels 1 ist.
• $\arccos(0) = 90^\circ$, oder etwa $1.5708$ Radiant ($\frac{\pi}{2}$).
• $\arccos(-1) = 180^\circ$, oder etwa $3.1416$ Radiant ($\pi$).

Die Eingabe eines Wertes wie $2$, der außerhalb von $[-1, 1]$ liegt, liefert nichts, da kein reeller Winkel einen Kosinus größer als 1 hat.

Praktische Hinweise

Der Arkuskosinus tritt immer dann auf, wenn du aus einem Verhältnis einen Winkel zurückgewinnen musst. Ein häufiges Beispiel ist die Skalarprodukt-Formel für den Winkel zwischen zwei Vektoren, bei der der Kosinus des Winkels gleich dem Skalarprodukt geteilt durch das Produkt der Beträge ist; der Arkuskosinus dieses Verhältnisses liefert den Winkel direkt. Er taucht auch im Kosinussatz auf, wenn man einen unbekannten Winkel eines Dreiecks bestimmt.

Wenn du stattdessen den Kosinus eines bekannten Winkels brauchst, arbeite mit dem Trigonometrie-Rechner in die andere Richtung. Um ein Ergebnis zwischen Grad, Radiant und Gon umzurechnen, verwende den Winkeleinheiten-Umrechner.