Achteck-Rechner

Was ist ein Achteck-Rechner?

Der Achteck-Rechner ist ein einziges Werkzeug, das ein regelmäßiges Achteck beschreibt — die achtseitige Figur mit gleichen Seiten und gleichen Winkeln, dieselbe Form wie ein Stoppschild. Gib ein Maß ein, und alle anderen Größen erscheinen sofort: die Seitenlänge, die Fläche, der Umfang, alle drei Diagonalen, der Umkreisradius und der Inkreisradius. Das ist praktisch für Schüler, die Geometrieaufgaben prüfen, für Bastler, die einen achteckigen Rahmen oder eine Tischplatte zuschneiden, und für alle, die einen Pavillon, ein Pflastermuster oder ein Schild anlegen.

Eigenschaften eines regelmäßigen Achtecks

Ein regelmäßiges Achteck hat acht gleiche Seiten und acht Innenwinkel von jeweils 135 Grad. Da nicht alle acht Eckpunkte denselben Abstand voneinander haben, besitzt ein Achteck drei verschiedene Diagonalen statt der zwei eines Sechsecks:

• Längste Diagonale verbindet zwei gegenüberliegende Eckpunkte und verläuft durch den Mittelpunkt; sie ist die volle Breite der Figur.
• Mittlere Diagonale verbindet zwei Eckpunkte mit zwei Eckpunkten dazwischen.
• Kürzeste Diagonale verbindet zwei Eckpunkte, die einen einzelnen Eckpunkt überspringen.

Der Umkreisradius ist der Abstand vom Mittelpunkt zu einer Ecke, und der Inkreisradius (auch Apothem genannt) ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Mittelpunkt einer Seite.

Wie funktioniert der Rechner?

Gib einen Wert in ein beliebiges Feld ein, und der Rechner ermittelt zuerst daraus die Seitenlänge und füllt anschließend jede verbleibende Größe aus. So kannst du mit der Seite, der Fläche, dem Umfang, einer der drei Diagonalen, dem Umkreisradius oder dem Inkreisradius beginnen und erhältst stets eine vollständige Beschreibung des Achtecks. Jedes Längenfeld akzeptiert verschiedene Einheiten, und die Umrechnungen erfolgen automatisch.

Formeln

Mit der Seitenlänge $a$ ist die Fläche eines regelmäßigen Achtecks:

Der Umfang ist das Achtfache der Seite:

Die drei Diagonalen — längste $D$, mittlere $M$ und kürzeste $d$ — sind:

Der Umkreisradius $R$ ist die Hälfte der längsten Diagonale, und der Inkreisradius $r$ (das Apothem) ist die Hälfte der mittleren Diagonale:

wobei $A$ die Fläche, $P$ der Umfang, $D$, $M$ und $d$ die längste, mittlere und kürzeste Diagonale, $R$ der Umkreisradius, $r$ der Inkreisradius und $a$ die Seitenlänge ist.

Beispiele

1. Ein regelmäßiges Achteck mit einer Seite von 5 cm:

2. Rückwärts gerechnet aus einem Umfang von 40 cm ergibt sich die Seite $40 / 8 = 5$ cm, was alle obigen Werte reproduziert.

Praktische Hinweise

• Die längste Diagonale ist die volle Spannweite über ein flachseitiges Achteck, also der Durchmesser des kleinsten Kreises, der die Figur enthält; der Umkreisradius ist genau die Hälfte davon.
• Der Inkreisradius ist das Apothem — der Radius des größten Kreises, der in das Achteck passt — und ist nützlich, wenn man ein Achteck um ein rundes Objekt legt.
• Für Figuren mit einer anderen Seitenzahl verallgemeinert der Rechner für die Fläche eines regelmäßigen Vielecks die Flächenformel, und der Sechseck-Rechner behandelt den sechsseitigen Fall.

FAQs

Wie finde ich die Fläche eines regelmäßigen Achtecks?

Quadriere die Seitenlänge und multipliziere mit $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\approx 4{,}8284$. Für eine Seite von 5 ist die Fläche $2\left(1 + \sqrt{2}\right)\times 25 \approx 120{,}71$.

Was ist der Unterschied zwischen den drei Diagonalen?

Die längste Diagonale verbindet gegenüberliegende Eckpunkte und verläuft durch den Mittelpunkt, gleich $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$. Die mittlere Diagonale überspringt zwei Eckpunkte und ist gleich $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$. Die kürzeste Diagonale überspringt einen Eckpunkt und ist gleich $a\sqrt{2 + \sqrt{2}}$.

Was ist das Apothem eines Achtecks?

Das Apothem ist der Inkreisradius — der Abstand vom Mittelpunkt zur Mitte einer Seite. Für ein regelmäßiges Achteck ist es gleich $\frac{a\left(1 + \sqrt{2}\right)}{2}$, etwa das 1,207-Fache der Seite.

Wie breit ist ein regelmäßiges Achteck?

Die Breite über gegenüberliegende Seiten ist das Doppelte des Inkreisradius, $a\left(1 + \sqrt{2}\right)$, was auch die mittlere Diagonale ist. Die Breite über gegenüberliegende Ecken ist die längste Diagonale, $a\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$.