Fünfeck-Rechner

Was ist ein Fünfeck-Rechner?

Der Fünfeck-Rechner ermittelt die Geometrie eines regelmäßigen Fünfecks — der fünfseitigen Figur mit gleichen Seiten und gleichen Winkeln — aus einer einzigen Messung: der Seitenlänge. Geben Sie eine Seite ein, und der Rechner liefert auf einmal die Fläche, den Umfang und das Apothem. Er ist praktisch für Schüler, die Geometrie-Hausaufgaben überprüfen, für Heimwerker, die ein fünfseitiges Paneel oder eine Tischplatte anlegen, und für jeden, der Muster entwirft, die das Fünfeck verwenden — eine Form, die überall auftaucht, von Fußbällen bis zur Architektur.

Eigenschaften eines regelmäßigen Fünfecks

Ein regelmäßiges Fünfeck hat fünf gleiche Seiten und fünf Innenwinkel von jeweils 108 Grad. Das Apothem ist der Abstand vom Mittelpunkt des Fünfecks zum Mittelpunkt einer beliebigen Seite; es ist zugleich der Radius des größten Kreises, der in die Form passt. Da jede Seite gleich lang ist, ist der Umfang einfach das Fünffache der Seite, und die Fläche lässt sich mithilfe einer einzigen Konstanten direkt durch die Seite ausdrücken.

Wie funktioniert es?

Geben Sie die Seitenlänge ein, und der Rechner ergänzt den Rest. Der Umfang ist das Fünffache der Seite. Die Fläche verwendet die exakte Konstante für ein regelmäßiges Fünfeck, und das Apothem nutzt die Konstante, die den Abstand vom Mittelpunkt zur Kante mit der Seite verknüpft. Alle drei Ausgaben aktualisieren sich sofort, wenn Sie die Seite ändern.

Formeln

Mit der Seitenlänge $s$ ist der Umfang eines regelmäßigen Fünfecks das Fünffache der Seite:

Die Fläche wird durch die exakte Formel gegeben:

Die Konstante $\frac{1}{4}\sqrt{5\left(5 + 2\sqrt{5}\right)} \approx 1.72048$, also beträgt die Fläche ungefähr $1.72048\,s^2$.

Das Apothem (Mittelpunkt zum Mittelpunkt einer Seite) ist:

Der Faktor $\frac{1}{2\tan(36^\circ)} \approx 0.68819$, also beträgt das Apothem etwa $0.68819\,s$.

Hier ist $P$ der Umfang, $A$ die Fläche, $a$ das Apothem und $s$ die Seitenlänge.

Beispiele

1. Ein regelmäßiges Fünfeck mit einer Seite von 1 Einheit:

2. Ein regelmäßiges Fünfeck mit einer Seite von 6 Einheiten:

Praktische Hinweise

• Das Apothem ist nützlich, wenn Sie die Fläche als $A = \tfrac{1}{2} \times P \times a$ benötigen, eine Formel, die für jedes regelmäßige Vieleck gilt.
• Ein Fünfeck kachelt die Ebene allein nicht, anders als das regelmäßige Sechseck — siehe den Sechseck-Rechner für eine sechsseitige Form, die das tut.
• Für andere regelmäßige Formen behandeln der Rechner für gleichseitige Dreiecke und der Kreisflächen-Rechner die drei-seitigen und runden Fälle.

Häufig gestellte Fragen

Wie finde ich die Fläche eines regelmäßigen Fünfecks?

Quadrieren Sie die Seitenlänge und multiplizieren Sie mit der Konstanten $\frac{1}{4}\sqrt{5\left(5 + 2\sqrt{5}\right)} \approx 1.72048$. Für eine Seite von 6 beträgt die Fläche etwa $1.72048 \times 36 \approx 61.9372$.

Was ist das Apothem eines Fünfecks?

Das Apothem ist der Abstand vom Mittelpunkt zum Mittelpunkt einer Seite. Für ein regelmäßiges Fünfeck beträgt es $\frac{s}{2\tan(36^\circ)} \approx 0.68819\,s$, also ergibt eine Seite von 1 ein Apothem von etwa $0.6882$.

Was ist der Umfang eines regelmäßigen Fünfecks?

Da alle fünf Seiten gleich sind, ist der Umfang einfach das Fünffache der Seite: $P = 5s$. Eine Seite von 6 ergibt einen Umfang von 30.