Scheitelpunktform-Rechner

Was ist der Scheitelpunktform-Rechner?

Der Scheitelpunktform-Rechner nimmt eine in Standardform geschriebene quadratische Gleichung und schreibt sie in die Scheitelpunktform um. Die Standardform, $y = ax^2 + bx + c$, ist praktisch zum Ablesen des y-Achsenabschnitts, während die Scheitelpunktform, $y = a(x - h)^2 + k$, sofort den Scheitelpunkt der Parabel offenbart. Der Punkt $(h, k)$ ist der Scheitelpunkt: der niedrigste Punkt, wenn die Parabel nach oben geöffnet ist ($a > 0$), und der höchste Punkt, wenn sie nach unten geöffnet ist ($a < 0$).

Dieses Werkzeug berechnet $h$ und $k$ für Sie, sodass Sie die Parabel zeichnen, ihre Symmetrieachse finden oder ihren minimalen oder maximalen Wert ablesen können, ohne die quadratische Ergänzung von Hand durchzuführen.

Formel

Gegeben eine quadratische Funktion in Standardform, lauten die Scheitelpunktkoordinaten:

$h = -\frac{b}{2a} \qquad k = c - \frac{b^2}{4a}$

Der Leitkoeffizient $a$ bleibt unverändert, sodass die Scheitelpunktform lautet:

$y = a(x - h)^2 + k$

Die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade $x = h$.

Wie man es verwendet

1. Geben Sie den Koeffizienten $a$ ein (er darf nicht null sein, sonst ist die Gleichung nicht quadratisch).
2. Geben Sie die Koeffizienten $b$ und $c$ ein.
3. Lesen Sie die berechneten Scheitelpunktwerte $h$ und $k$ ab. Die Scheitelpunktform lautet dann $y = a(x - h)^2 + k$.

Die Ergebnisse bleiben leer, bis alle drei Koeffizienten ausgefüllt sind und $a \neq 0$ gilt.

Durchgerechnetes Beispiel

Wandeln Sie $y = 2x^2 - 12x + 10$ in die Scheitelpunktform um. Hier ist $a = 2$, $b = -12$ und $c = 10$.

Berechnen Sie $h$:

$h = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

Berechnen Sie $k$:

$k = c - \frac{b^2}{4a} = 10 - \frac{(-12)^2}{4 \cdot 2} = 10 - \frac{144}{8} = 10 - 18 = -8$

Der Scheitelpunkt ist also $(3, -8)$ und die Scheitelpunktform lautet:

$y = 2(x - 3)^2 - 8$

FAQ

Warum darf der Koeffizient a nicht null sein?

Wenn $a = 0$ ist, verschwindet der $x^2$-Term und die Gleichung wird linear, $y = bx + c$, was keinen Scheitelpunkt hat. Beide Scheitelpunktformeln teilen außerdem durch $a$, sodass $a = 0$ sie undefiniert machen würde. Um stattdessen eine Gerade zu analysieren, siehe den Steigungsrechner.

Wie hängt der Scheitelpunkt mit der Änderungsrate zusammen?

Am Scheitelpunkt ist die momentane Steigung der Parabel null, weshalb es der Scheitelpunkt ist. Um zu messen, wie sich der Ausgabewert einer Funktion über ein Intervall statt an einem einzelnen Punkt ändert, verwenden Sie den Rechner für durchschnittliche Änderungsrate.