Übersetzungsverhältnis-Rechner

Was ist ein Übersetzungsverhältnis-Rechner?

Ein Übersetzungsverhältnis-Rechner ermittelt, wie ein Paar ineinandergreifender Zahnräder Drehzahl gegen Drehmoment tauscht. Geben Sie die Zähnezahl des treibenden (Eingangs-) Zahnrads und des angetriebenen (Ausgangs-) Zahnrads ein, und das Werkzeug liefert das Übersetzungsverhältnis sowohl als Dezimalzahl als auch in der vertrauten „Verhältnis zu eins”-Form. Geben Sie zusätzlich eine Eingangsdrehzahl oder ein Eingangsdrehmoment an, so meldet es auch Drehzahl und Drehmoment an der Ausgangswelle. Es erspart Ihnen das Jonglieren mit den umgekehrten Beziehungen von Hand und ist nützlich für alle, die ein Getriebe entwerfen, einen Fahrradantrieb abstimmen oder Mechanik studieren.

Wie Zahnräder Drehzahl gegen Drehmoment tauschen

Wenn zwei Zahnräder ineinandergreifen, bewegen sich ihre Zähne mit gleicher Geschwindigkeit am Berührungspunkt vorbei, sodass sich das Zahnrad mit mehr Zähnen langsamer dreht. Ein kleines treibendes Zahnrad, das ein großes angetriebenes Zahnrad dreht, erzeugt daher einen langsameren, aber stärkeren Ausgang: Die Drehzahl sinkt und das Drehmoment steigt um denselben Faktor. Kehrt man die Anordnung um, erhält man das Gegenteil, einen Schnellgang, der schneller dreht, aber mit weniger Kraft drückt. Das Übersetzungsverhältnis ist einfach die Zahl, die diesen Tausch erfasst. Zwischenräder zwischen Ein- und Ausgang können die Drehrichtung umkehren, ändern aber, da sie auf beiden Seiten greifen, das Gesamtverhältnis nicht.

Wie funktioniert der Rechner?

Der Rechner teilt zunächst die Zähnezahl des angetriebenen Zahnrads durch die Zähnezahl des treibenden Zahnrads, um das Verhältnis zu erhalten. Da die Drehzahl umgekehrt proportional zur Zähnezahl ist, teilt er die Eingangsdrehzahl durch das Verhältnis, um die Ausgangsdrehzahl zu finden. Das Drehmoment skaliert in die andere Richtung, daher multipliziert er das Eingangsdrehmoment mit dem Verhältnis, um das Ausgangsdrehmoment zu finden. Bleibt das treibende Zahnrad leer oder ist es auf null gesetzt, ist kein Verhältnis definiert und die Ergebnisse bleiben leer.

Formel

Das Übersetzungsverhältnis $i$ zwischen einem treibenden Zahnrad mit $N_\text{in}$ Zähnen und einem angetriebenen Zahnrad mit $N_\text{out}$ Zähnen ist:

$i = \frac{N_\text{out}}{N_\text{in}}$

Die Ausgangsdrehzahl $\omega_\text{out}$ ergibt sich aus der Eingangsdrehzahl $\omega_\text{in}$ als:

$\omega_\text{out} = \frac{\omega_\text{in}}{i} = \omega_\text{in}\,\frac{N_\text{in}}{N_\text{out}}$

Das Ausgangsdrehmoment $\tau_\text{out}$ ergibt sich aus dem Eingangsdrehmoment $\tau_\text{in}$ als:

$\tau_\text{out} = i\,\tau_\text{in} = \tau_\text{in}\,\frac{N_\text{out}}{N_\text{in}}$

Dabei gilt:

• $N_\text{in}$ ist die Zähnezahl des treibenden (Eingangs-) Zahnrads,
• $N_\text{out}$ ist die Zähnezahl des angetriebenen (Ausgangs-) Zahnrads,
• $i$ ist das Übersetzungsverhältnis,
• $\omega_\text{in}$ und $\omega_\text{out}$ sind die Ein- und Ausgangsdrehzahlen,
• $\tau_\text{in}$ und $\tau_\text{out}$ sind das Ein- und Ausgangsdrehmoment.

Ein Verhältnis größer als eins ist eine Untersetzung (langsamerer, stärkerer Ausgang); ein Verhältnis kleiner als eins ist ein Schnellgang (schnellerer, schwächerer Ausgang).

Beispiele

Beispiel 1: Ein treibendes Zahnrad hat $N_\text{in} = 10$ Zähne und greift in ein angetriebenes Zahnrad mit $N_\text{out} = 40$ Zähnen. Bestimmen Sie das Übersetzungsverhältnis.

1. Setzen Sie die Zähnezahlen in die Formel ein: $i = \frac{N_\text{out}}{N_\text{in}} = \frac{40}{10}$

2. Das Ergebnis ist $i = 4$, geschrieben als $4 : 1$. Das Eingangszahnrad dreht sich viermal pro Umdrehung des Ausgangszahnrads.

Beispiel 2: Bei demselben Zahnradpaar $10 \to 40$ dreht sich die Eingangswelle mit $\omega_\text{in} = 1200$ U/min und liefert $\tau_\text{in} = 5$ N·m Drehmoment. Bestimmen Sie Ausgangsdrehzahl und -drehmoment.

1. Die Ausgangsdrehzahl wird durch das Verhältnis geteilt: $\omega_\text{out} = \frac{1200}{4} = 300 \ \text{rpm}$

2. Das Ausgangsdrehmoment wird mit dem Verhältnis multipliziert: $\tau_\text{out} = 4 \times 5 = 20 \ \text{N·m}$

3. Die Ausgangswelle dreht sich viermal langsamer, liefert aber das vierfache Drehmoment.

Hinweise

• Ein Verhältnis über $1$ verringert die Drehzahl und erhöht das Drehmoment; ein Verhältnis unter $1$ bewirkt das Gegenteil. Ein Verhältnis von genau $1 : 1$ leitet Drehzahl und Drehmoment unverändert weiter.
• Die Drehzahl- und Drehmomentbeziehungen setzen ein ideales, verlustfreies Zahnradpaar voraus. Reale Zahnräder verlieren einige Prozent durch Reibung, sodass das tatsächliche Ausgangsdrehmoment etwas geringer ist.
• Für einen mehrstufigen Zahnradtrieb multiplizieren Sie die einzelnen Stufenverhältnisse, um das Gesamtverhältnis zu erhalten.
• Da das Verhältnis nur von den Zähnezahlen abhängt, können Sie ebenso die Teilkreisdurchmesser oder Radien der Zahnräder verwenden, die proportional zur Zähnezahl sind.

Häufig gestellte Fragen

Welches Zahnrad ist das „treibende” Zahnrad?

Das treibende (Eingangs-) Zahnrad ist dasjenige, das mit der Kraftquelle wie einem Motor oder Pedal verbunden ist. Das angetriebene (Ausgangs-) Zahnrad ist dasjenige, das es dreht und das mit der Last verbunden ist.

Was bedeutet ein Übersetzungsverhältnis von 4:1?

Es bedeutet, dass das treibende Zahnrad vier volle Umdrehungen vollziehen muss, damit das angetriebene Zahnrad eine vollendet. Der Ausgang dreht sich daher viermal langsamer und, im Idealfall, mit dem vierfachen Drehmoment.

Ändert ein Zwischenrad das Verhältnis?

Nein. Ein zwischen Ein- und Ausgangszahnrad platziertes Zwischenrad kehrt die Drehrichtung des Ausgangs um, lässt das Gesamtverhältnis aber unverändert, da es mit beiden Zahnrädern greift.

Wie erhalte ich mehr Drehmoment aus einem Zahnradpaar?

Verwenden Sie ein größeres angetriebenes Zahnrad oder ein kleineres treibendes Zahnrad, sodass das Verhältnis über eins steigt. Der Ausgang dreht sich dann langsamer, aber mit proportional mehr Drehmoment.

Kann das Übersetzungsverhältnis kleiner als eins sein?

Ja. Wenn das angetriebene Zahnrad weniger Zähne hat als das treibende, fällt das Verhältnis unter eins. Das ist ein Schnellgang: Der Ausgang dreht sich schneller als der Eingang, liefert aber weniger Drehmoment.

Sie finden dieses Werkzeug unter https://www.mega-calculator.com/de/physics/gear-ratio/.