Rechner für mittlere absolute Abweichung

Was ist ein Rechner für die mittlere absolute Abweichung?

Ein Rechner für die mittlere absolute Abweichung misst, wie stark eine Menge von Zahlen streut, indem er mittelt, wie weit jeder Wert vom Mittelwert entfernt liegt. Geben Sie Ihre Datenpunkte ein, und der Rechner liefert sofort die mittlere absolute Abweichung (MAD) zusammen mit dem Mittelwert und der Anzahl der Werte. Eine kleine MAD bedeutet, dass die Zahlen eng um den Durchschnitt liegen; eine große MAD bedeutet, dass sie weit gestreut sind.

Anders als die Standardabweichung, die jede Abweichung quadriert, verwendet die mittlere absolute Abweichung den schlichten absoluten Abstand. Dadurch bleibt das Ergebnis in denselben Einheiten wie die ursprünglichen Daten und wird anschaulich: Die MAD ist einfach der typische Abstand zwischen einem Datenpunkt und dem Mittelwert.

Wie funktioniert er?

Die mittlere absolute Abweichung ist der Durchschnitt der absoluten Differenzen zwischen jedem Wert und dem Mittelwert:

wobei $\bar{x}$ der Mittelwert der Daten und $n$ die Anzahl der Werte ist. Die Berechnung erfolgt in drei Schritten:

1. Finden Sie den Mittelwert, indem Sie alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen.
2. Finden Sie jede absolute Abweichung, indem Sie den Mittelwert von jedem Wert subtrahieren und das Vorzeichen mit dem Absolutbetrag weglassen.
3. Mitteln Sie diese absoluten Abweichungen, indem Sie sie addieren und durch $n$ teilen.

Das Bilden des Absolutbetrags in Schritt 2 unterscheidet die MAD von einer naiven durchschnittlichen Abweichung: ohne ihn würden sich die positiven und negativen Abweichungen stets zu null ausgleichen.

Gelöste Beispiele

Betrachten Sie den Datensatz $1, 2, 3, 4, 5$, der $n = 5$ Werte hat.

Zuerst der Mittelwert:

Als Nächstes sind die absoluten Abweichungen vom Mittelwert $3$ gleich $2, 1, 0, 1, 2$, deren Summe $6$ ergibt. Die mittlere absolute Abweichung ist:

Für die Menge $2, 2, 4, 4$ ist der Mittelwert $3$, die absoluten Abweichungen sind $1, 1, 1, 1$, und somit:

Wenn jeder Wert identisch ist, etwa $10, 10, 10$, ist der Mittelwert $10$, jede Abweichung ist $0$, und die mittlere absolute Abweichung ist $0$ – es gibt überhaupt keine Streuung.

Praktische Hinweise

Die mittlere absolute Abweichung ist beliebt, wenn man ein Streuungsmaß möchte, das leicht zu erklären und gegen den übermäßigen Einfluss extremer Werte widerstandsfähig ist. Da sie die Abweichungen nicht quadriert, zieht ein einzelner weit entfernter Punkt die MAD weniger nach oben als die Standardabweichung, was die MAD zu einer robusteren Zusammenfassung der typischen Streuung macht.

Sie passt natürlich zum Durchschnitt, der den zentralen Wert liefert, von dem aus die Abweichungen gemessen werden, und zu Mittelwert, Median und Modus für ein vollständigeres Bild von Zentrum und Form eines Datensatzes. Die MAD kann niemals negativ sein, und sie ist nur dann null, wenn jeder Wert dem Mittelwert entspricht.