Standardabweichungs-Rechner

Was ist ein Standardabweichungs-Rechner?

Ein Standardabweichungs-Rechner misst, wie stark eine Menge von Zahlen um ihren Mittelwert streut. Geben Sie Ihre Datenpunkte ein, und der Rechner liefert sofort die Anzahl, den Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung – sowohl für die Grundgesamtheit als auch für eine Stichprobeninterpretation Ihrer Daten. Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Werte eng um den Durchschnitt liegen; eine große bedeutet, dass sie weit gestreut sind.

Die Standardabweichung ist eines der am häufigsten verwendeten Streuungsmaße in der Statistik. Sie taucht überall auf, von der Qualitätskontrolle und dem Finanzwesen (wo sie oft Volatilität genannt wird) bis zur Analyse von Testergebnissen und der wissenschaftlichen Forschung, weil sie die Variabilität in denselben Einheiten wie die ursprünglichen Daten ausdrückt.

Grundgesamtheit versus Stichprobe

Es gibt zwei eng verwandte Versionen von Varianz und Standardabweichung, und die richtige Wahl ist wichtig.

• Statistiken der Grundgesamtheit beschreiben einen vollständigen Datensatz – jedes Element, das Sie interessiert, ist enthalten. Die Varianz der Grundgesamtheit teilt die Summe der quadrierten Abweichungen durch die Anzahl $N$, und ihre Symbole sind $\sigma^2$ (Varianz) und $\sigma$ (Standardabweichung).
• Stichprobenstatistiken beschreiben eine kleinere Teilmenge, die aus einer größeren Grundgesamtheit gezogen wurde, und Sie möchten die Streuung dieser gesamten Grundgesamtheit anhand der Stichprobe schätzen. Die Stichprobenvarianz teilt durch $n - 1$ statt durch $n$ (dies ist als Bessel-Korrektur bekannt), was die Verzerrung korrigiert, die durch die Verwendung des Stichprobenmittelwerts anstelle des unbekannten wahren Mittelwerts entsteht. Ihre Symbole sind $s^2$ (Varianz) und $s$ (Standardabweichung).

Da die Division durch das kleinere $n - 1$ ein etwas größeres Ergebnis liefert, ist die Stichproben-Standardabweichung für dieselben Daten stets größer oder gleich der Standardabweichung der Grundgesamtheit. Die Stichprobenversion erfordert mindestens zwei Datenpunkte; bei einem einzigen Wert gibt es keine Streuung zu schätzen.

Wie funktioniert er?

Die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist die Quadratwurzel des durchschnittlichen quadrierten Abstands jedes Werts vom Mittelwert:

wobei $\mu$ der Mittelwert der Grundgesamtheit und $N$ die Anzahl der Werte ist. Die Stichproben-Standardabweichung verwendet den Stichprobenmittelwert $\bar{x}$ und teilt durch $n - 1$:

Die Berechnung erfolgt in vier Schritten:

1. Finden Sie den Mittelwert, indem Sie alle Werte addieren und durch ihre Anzahl teilen.
2. Finden Sie jede Abweichung, indem Sie den Mittelwert von jedem Wert subtrahieren.
3. Quadrieren Sie jede Abweichung und addieren Sie die Quadrate.
4. Teilen Sie durch $N$ (Grundgesamtheit) oder $n - 1$ (Stichprobe) und ziehen Sie dann die Quadratwurzel, um die Standardabweichung zu erhalten. Lässt man die Quadratwurzel weg, bleibt die Varianz übrig.

Gelöstes Beispiel

Betrachten Sie den Datensatz $2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9$, der $N = 8$ Werte hat.

Zuerst der Mittelwert:

Als Nächstes sind die quadrierten Abweichungen vom Mittelwert $5$ gleich $9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16$, deren Summe $32$ ergibt. Die Varianz und Standardabweichung der Grundgesamtheit sind:

Behandelt man dieselben Zahlen stattdessen als Stichprobe, teilt man die Summe der Quadrate durch $n - 1 = 7$:

Wie erwartet ist die Stichproben-Standardabweichung $2.1381$ größer als die Standardabweichung der Grundgesamtheit $2$.

Für eine kleinere Menge wie $1, 2, 3, 4, 5$ ist der Mittelwert $3$, die Summe der quadrierten Abweichungen ist $10$, die Standardabweichung der Grundgesamtheit ist $\sqrt{2} \approx 1.4142$ und die Stichproben-Standardabweichung ist $\sqrt{2.5} \approx 1.5811$.

Praktische Hinweise

Verwenden Sie die Formel für die Grundgesamtheit, wenn Ihre Zahlen die gesamte Gruppe darstellen, die Sie analysieren – zum Beispiel die Testergebnisse jedes Schülers einer einzelnen Klasse, wenn diese Klasse alles ist, was Sie interessiert. Verwenden Sie die Formel für die Stichprobe, wenn Ihre Zahlen eine Teilmenge sind, mit der Sie auf etwas über eine größere Gruppe schließen, was der häufige Fall bei Umfragen, Experimenten und den meisten realen Statistiken ist.

Die Standardabweichung passt natürlich zum Durchschnitt und zu Intervallschätzungen wie dem Konfidenzintervall, das die Standardabweichung und die Stichprobengröße verwendet, um den wahren Mittelwert einzugrenzen. Sie liegt auch den kritischen Werten zugrunde, die beim Hypothesentest verwendet werden.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Varianz und Standardabweichung?

Die Varianz ist der Durchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert, ausgedrückt in quadrierten Einheiten. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz, die das Maß auf die ursprünglichen Einheiten der Daten zurückführt und es leichter interpretierbar macht.

Sollte ich die Standardabweichung der Grundgesamtheit oder der Stichprobe verwenden?

Verwenden Sie die Version für die Grundgesamtheit ($\sigma$, teile durch $N$), wenn Ihre Daten die gesamte interessierende Gruppe abdecken. Verwenden Sie die Version für die Stichprobe ($s$, teile durch $n - 1$), wenn Ihre Daten eine Stichprobe aus einer größeren Grundgesamtheit sind und Sie eine unverzerrte Schätzung der Streuung dieser Grundgesamtheit wünschen.

Kann die Standardabweichung null oder negativ sein?

Sie kann null sein, was nur dann geschieht, wenn jeder Wert im Datensatz identisch ist – es gibt keine Streuung. Sie kann niemals negativ sein, da sie die Quadratwurzel einer Summe quadrierter (nicht negativer) Terme ist.