Rechner für kritische Werte

Was ist ein kritischer Wert?

Ein kritischer Wert ist der Grenzpunkt, der die Werte einer Teststatistik, die zur Ablehnung der Nullhypothese führen, von denen trennt, die das nicht tun. Nachdem Sie ein Signifikanzniveau und eine Testrichtung gewählt haben, markiert der kritische Wert den Rand des Ablehnungsbereichs. Fällt Ihre berechnete Statistik über diesen Rand hinaus, ist das Ergebnis auf dem gewählten Niveau statistisch signifikant.

Dieser Rechner liefert den kritischen Wert für die vier Verteilungen, die Ihnen beim Hypothesentest am häufigsten begegnen: die Standardnormalverteilung (Z), die Student-t-Verteilung, die Chi-Quadrat-Verteilung und die F-Verteilung. Wählen Sie die Verteilung, die Testart (zweiseitig, rechtsseitig oder linksseitig), das Signifikanzniveau und die Freiheitsgrade, sofern die Verteilung sie benötigt.

Wie funktioniert der Rechner?

Jeder kritische Wert ist ein Quantil der kumulativen Verteilungsfunktion der Verteilung. Ist $F$ die kumulative Verteilungsfunktion der gewählten Verteilung, so wandelt die Quantilfunktion (Umkehrfunktion) $F^{-1}$ eine Wahrscheinlichkeit zurück in den Wert, der an dieser Wahrscheinlichkeit liegt. Der Rechner wertet $F^{-1}$ an der Wahrscheinlichkeit aus, die durch Ihr Signifikanzniveau $\alpha$ und Ihre Testrichtung vorgegeben ist.

Bei einer symmetrischen Verteilung wie Z oder t entsprechen die drei Testarten diesen Wahrscheinlichkeiten:

Die Chi-Quadrat- und die F-Verteilung sind nicht symmetrisch, daher liefert ein zweiseitiger Test zwei verschiedene Grenzen, eine untere und eine obere:

Berechnung der Quantile

Das Quantil der Standardnormalverteilung $\Phi^{-1}$ hat keine geschlossene Form, daher verwendet der Rechner eine rationale Näherung (das Acklam-Verfahren), verfeinert durch einen Halley-Schritt, was die inverse Normalverteilung in voller doppelter Genauigkeit liefert. Die Quantile von t, Chi-Quadrat und F werden durch numerisches Umkehren ihrer kumulativen Verteilungsfunktionen ermittelt, die aus der regularisierten unvollständigen Beta- und Gammafunktion aufgebaut sind.

Gelöste Beispiele

1. Z, zweiseitig, $\alpha = 0.05$. Verteilen Sie das Signifikanzniveau auf beide Enden und werten Sie das Normalquantil bei $1 - \tfrac{0.05}{2} = 0.975$ aus: $\Phi^{-1}(0.975) = 1.959964 \approx \pm 1.96$ Der Ablehnungsbereich ist alles unter $-1.96$ oder über $1.96$.

2. Z, rechtsseitig, $\alpha = 0.05$. Ein einzelnes oberes Ende: $\Phi^{-1}(0.95) = 1.644854 \approx 1.64$

3. t, rechtsseitig, $d = 15$, $\alpha = 0.05$. Werten Sie das t-Quantil bei $0.95$ mit 15 Freiheitsgraden aus: $t^{-1}(0.95;\, 15) \approx 1.7531$ Der Ablehnungsbereich ist $(1.7531, \infty)$.

4. t, zweiseitig, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. Werten Sie bei $0.975$ aus: $t^{-1}(0.975;\, 10) \approx \pm 2.228$

5. Chi-Quadrat, zweiseitig, $d = 10$, $\alpha = 0.05$. Die untere und obere Grenze stammen aus $0.025$ und $0.975$: $\chi^{2-1}(0.025;\, 10) \approx 3.247 \qquad \chi^{2-1}(0.975;\, 10) \approx 20.483$

6. F, rechtsseitig, $d = 5$, $d_2 = 10$, $\alpha = 0.05$. Mit 5 Zähler- und 10 Nennerfreiheitsgraden: $F^{-1}(0.95;\, 5,\, 10) \approx 3.326$

Praktische Hinweise

• Das Signifikanzniveau $\alpha$ muss strikt zwischen $0$ und $1$ liegen. Übliche Wahlmöglichkeiten sind $0.10$, $0.05$ und $0.01$.
• Verwenden Sie die Z-Verteilung, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist oder die Stichprobe groß ist; wechseln Sie für kleine Stichproben mit geschätzter Standardabweichung zur t-Verteilung.
• Die Chi-Quadrat-Verteilung wird für Varianz- und Anpassungstests verwendet, die F-Verteilung zum Vergleich zweier Varianzen oder für die Varianzanalyse.
• Die Freiheitsgrade formen die t-, Chi-Quadrat- und F-Verteilung. Wachsen die Freiheitsgrade der t-Verteilung, nähern sich ihre kritischen Werte den entsprechenden Z-Werten an.

FAQ

Was ist der Unterschied zwischen einem einseitigen und einem zweiseitigen kritischen Wert?

Ein einseitiger Test legt den gesamten Ablehnungsbereich in ein einzelnes Ende, verwendet also $F^{-1}(1 - \alpha)$ (rechts) oder $F^{-1}(\alpha)$ (links). Ein zweiseitiger Test verteilt $\alpha$ auf beide Enden und schiebt jeden kritischen Wert weiter von der Mitte weg.

Warum benötigt der kritische Wert für Chi-Quadrat Freiheitsgrade?

Die Chi-Quadrat-Verteilung ändert ihre Form mit den Freiheitsgraden, sodass ein einziges Signifikanzniveau für verschiedene Freiheitsgrade unterschiedlichen Grenzpunkten entspricht. Dasselbe gilt für die t- und die F-Verteilung.

Wie hängt der kritische Wert mit dem p-Wert zusammen?

Sie sind zwei Seiten derselben Entscheidung. Sie lehnen die Nullhypothese ab, wenn die Teststatistik den kritischen Wert überschreitet, was genau dann der Fall ist, wenn der p-Wert kleiner als $\alpha$ ist.

Kann ein kritischer Wert negativ sein?

Ja. Ein linksseitiger kritischer Z- oder t-Wert ist negativ, weil er im unteren Ende liegt. Chi-Quadrat- und F-Werte sind stets nicht negativ, da diese Verteilungen nur für nicht negative Zahlen definiert sind.