Wahrscheinlichkeitsrechner

Was ist ein Wahrscheinlichkeitsrechner?

Ein Wahrscheinlichkeitsrechner ermittelt, wie wahrscheinlich Kombinationen zweier Ereignisse sind, sobald Sie die Chance jedes einzelnen für sich kennen. Sie geben die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $A$ und die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $B$ als Prozentsätze ein, und der Rechner gibt vier kombinierte Wahrscheinlichkeiten zurück: beide Ereignisse zusammen, mindestens eines von beiden, keines von beiden und $A$ tritt ein, während $B$ es nicht tut.

Dieses Werkzeug setzt voraus, dass die beiden Ereignisse unabhängig sind — der Ausgang des einen hat keinen Einfluss auf den Ausgang des anderen. Das Werfen eines Würfels und das Werfen einer Münze oder zwei separate Maschinen mit jeweils fester Ausfallrate sind klassische Beispiele für unabhängige Ereignisse.

Wie funktioniert der Rechner?

Sie geben zwei Werte an, jeweils zwischen 0% und 100%:

• P(A) — die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis $A$ eintritt.
• P(B) — die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis $B$ eintritt.

Da die Ereignisse unabhängig sind, ergeben sich die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten direkt aus der Multiplikation. Beim Rechnen in Prozent wird jedes Produkt durch 100 geteilt, um das Ergebnis auf einer Skala von 0–100% zu halten. Der Rechner gibt dann aus:

• P(A und B) — beide Ereignisse treten ein.
• P(A oder B) — mindestens eines der beiden Ereignisse tritt ein.
• P(weder A noch B) — keines der Ereignisse tritt ein.
• P(A, aber nicht B) — $A$ tritt ein, während $B$ es nicht tut.

Formel

Für zwei unabhängige Ereignisse mit den Wahrscheinlichkeiten $p_A$ und $p_B$ (als Dezimalzahlen geschrieben):

Wenn die Eingaben als Prozentsätze eingegeben werden, wird jeder Produktterm durch 100 geteilt. Zum Beispiel $P(A \cap B) = \dfrac{P(A) \cdot P(B)}{100}$ mit $P(A)$ und $P(B)$ in Prozent.

Gelöste Beispiele

1. Zwei faire Münzen, P(A) = P(B) = 50%. Beide Kopf: $50 \times 50 / 100 = 25\%$. Mindestens ein Kopf: $50 + 50 - 25 = 75\%$. Kein Kopf: $50 \times 50 / 100 = 25\%$. Erste Kopf, aber nicht die zweite: $50 \times 50 / 100 = 25\%$.

2. P(A) = 20%, P(B) = 30%. Beide: $20 \times 30 / 100 = 6\%$. Eines von beiden: $20 + 30 - 6 = 44\%$. Keines: $80 \times 70 / 100 = 56\%$. A, aber nicht B: $20 \times 70 / 100 = 14\%$.

Hinweise

• Die vier Ergebnisse hängen zusammen: $P(A \cup B)$ und $P(\text{neither})$ addieren sich stets zu 100%, weil „mindestens eines” und „keines” komplementäre Ausgänge sind.
• Unabhängigkeit ist die entscheidende Annahme. Wenn das Wissen, dass $A$ eingetreten ist, die Chance von $B$ verändert, sind die Ereignisse abhängig, und Sie benötigen stattdessen bedingte Wahrscheinlichkeit — siehe den Bayes-Theorem-Rechner.
• Um dasselbe Ereignis über viele wiederholte Versuche zu kombinieren (etwa mehrere Münzwürfe hintereinander), verwenden Sie den Rechner für Münzwurf-Wahrscheinlichkeit, der die Binomialverteilung anwendet.

Häufig gestellte Fragen

Müssen sich die Wahrscheinlichkeiten zu 100% addieren? Nein. $P(A)$ und $P(B)$ sind unabhängige Eingaben und jede kann alles zwischen 0% und 100% sein. Sie beschreiben zwei separate Ereignisse, nicht zwei Ausgänge eines Ereignisses.

Was bedeutet „unabhängig” hier? Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert. Nur unter Unabhängigkeit gilt $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Wie behandle ich sich gegenseitig ausschließende Ereignisse? Wenn zwei Ereignisse nicht beide eintreten können, sind sie nicht unabhängig, und $P(A \cap B) = 0$. Dieser Rechner ist für unabhängige Ereignisse ausgelegt, also ist er nicht das richtige Werkzeug für sich gegenseitig ausschließende.