T-Statistik-Rechner

Was ist eine t-Statistik?

Eine t-Statistik misst, wie weit der Mittelwert einer Stichprobe von einem angenommenen Populationsmittelwert entfernt liegt, skaliert durch die Streuung der Stichprobe selbst. Sie ist das Kernstück des Einstichproben-t-Tests: Sie erheben eine Stichprobe, vergleichen ihren Mittelwert mit einem Zielwert, und die t-Statistik zeigt an, wie überraschend dieser Abstand in Einheiten des Standardfehlers ist. Eine t-Statistik nahe 0 bedeutet, dass der Stichprobenmittelwert nahe am Populationsmittelwert liegt; ein großer positiver oder negativer Wert bedeutet, dass die Stichprobe weit davon entfernt liegt.

Die t-Statistik ist eng mit dem Z-Wert verwandt, verwendet jedoch die Stichprobenstandardabweichung anstelle einer bekannten Populationsstandardabweichung. Genau diese Ersetzung ist der Grund, warum es die t-Verteilung gibt: Sie hat etwas schwerere Ränder als die Normalverteilung, um die zusätzliche Unsicherheit bei der Schätzung der Streuung aus einer kleinen Stichprobe zu berücksichtigen.

Wie funktioniert der Rechner?

Geben Sie den Stichprobenmittelwert, den Populationsmittelwert, mit dem Sie vergleichen, die Stichprobenstandardabweichung und die Stichprobengröße ein. Der Rechner liefert die t-Statistik für eine Stichprobe:

Dabei gilt:

• x̄ ist der Stichprobenmittelwert.
• μ₀ ist der in der Nullhypothese angegebene Populationsmittelwert.
• s ist die Stichprobenstandardabweichung, die größer als null sein muss.
• n ist die Stichprobengröße, die mindestens eins betragen muss.

Der Nenner s / √n ist der Standardfehler des Mittelwerts — der typische Abstand zwischen einem Stichprobenmittelwert und dem wahren Mittelwert. Die Division der reinen Differenz durch den Standardfehler wandelt sie in eine einheitenlose Teststatistik um, die Sie mit einer t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden vergleichen können.

Gelöste Beispiele

1. Eine Stichprobe über dem Zielwert. Eine Stichprobe mit n = 25 hat den Mittelwert x̄ = 130 gegenüber einem Populationsmittelwert von μ₀ = 120 mit einer Stichprobenstandardabweichung s = 15. $t = \frac{130 - 120}{15 / \sqrt{25}} = \frac{10}{3} \approx 3.3333$ Der Stichprobenmittelwert liegt etwa 3,33 Standardfehler über dem angenommenen Mittelwert.

2. Eine kleine positive Verschiebung. Mit x̄ = 10.5, μ₀ = 10, s = 2 und n = 16: $t = \frac{10.5 - 10}{2 / \sqrt{16}} = \frac{0.5}{0.5} = 1$ Der Stichprobenmittelwert liegt genau einen Standardfehler über dem Zielwert.

3. Eine Stichprobe unter dem Zielwert. Mit x̄ = 98, μ₀ = 100, s = 5 und n = 25: $t = \frac{98 - 100}{5 / \sqrt{25}} = \frac{-2}{1} = -2$ Das negative Vorzeichen zeigt, dass der Stichprobenmittelwert zwei Standardfehler unter dem angenommenen Mittelwert liegt.

Praktische Hinweise

• Die Stichprobenstandardabweichung muss positiv sein. Ein Wert von null würde bedeuten, dass die Daten keine Streuung aufweisen, wodurch der Standardfehler — und die t-Statistik — undefiniert wäre.
• Um die Signifikanz zu beurteilen, vergleichen Sie die t-Statistik mit einem kritischen Wert der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden oder wandeln Sie sie in einen p-Wert um.
• Bei großen Stichproben nähert sich die t-Verteilung der Normalverteilung an, sodass die t-Statistik und der Z-Wert nahezu identisch werden.
• Verwenden Sie diese Einstichprobenformel, wenn Sie einen einzelnen Stichprobenmittelwert mit einem festen Referenzwert vergleichen; ein Zweistichprobentest verwendet einen anderen Nenner.

FAQ

Kann eine t-Statistik negativ sein?

Ja. Eine negative t-Statistik bedeutet einfach, dass der Stichprobenmittelwert unter dem Populationsmittelwert liegt, mit dem Sie vergleichen. Das Vorzeichen gibt die Richtung an, während der Betrag den Abstand in Einheiten des Standardfehlers angibt.

Was ist der Unterschied zwischen einer t-Statistik und einem Z-Wert?

Beide messen den Abstand von einem Referenzwert, aber der Z-Wert dividiert durch eine bekannte Populationsstandardabweichung, während die t-Statistik durch den aus der Stichprobenstandardabweichung gebildeten Standardfehler dividiert. Die t-Statistik ist die richtige Wahl, wenn die Populationsstandardabweichung unbekannt ist. Siehe den Z-Wert-Rechner für den Fall mit bekannter Populationsstandardabweichung.

Was sind Freiheitsgrade?

Bei einem Einstichproben-t-Test entsprechen die Freiheitsgrade n − 1. Sie beschreiben die Form der t-Verteilung, mit der Sie die Statistik vergleichen: weniger Freiheitsgrade ergeben schwerere Ränder und einen konservativeren Test.

Warum muss die Stichprobenstandardabweichung größer als null sein?

Die Formel dividiert durch den Standardfehler s / √n. Wäre s null, wäre die Division undefiniert, und eine Stichprobe ohne Streuung kann keinen sinnvollen Test stützen.