Calculadora de longitud de cuerda

¿Qué es una calculadora de longitud de cuerda?

Una cuerda es un segmento de recta cuyos dos extremos se encuentran ambos sobre un círculo. La cuerda más larga de un círculo es su diámetro; cualquier otra cuerda es más corta y está “subtendida” por algún ángulo central — el ángulo formado en el centro por los dos radios trazados hasta los extremos de la cuerda.

Esta calculadora encuentra cualquiera de los tres valores — longitud de la cuerda, radio o ángulo central — cuando se conocen los otros dos. El ángulo puede introducirse en grados o radianes, y el radio y la cuerda pueden introducirse en cualquier unidad de longitud común.

Conceptos clave

• Radio (r) — la distancia desde el centro del círculo a un punto en su borde.
• Ángulo central (θ) — el ángulo formado en el centro del círculo por los dos radios trazados hasta los extremos de la cuerda.
• Cuerda (c) — la distancia en línea recta entre los dos extremos del arco, que atraviesa el círculo en lugar de seguir su curvatura.
• Diámetro — el caso especial de una cuerda que pasa por el centro. Tiene longitud $2r$ y corresponde a un ángulo central de 180°.

La cuerda y la longitud del arco describen el mismo par de extremos desde dos perspectivas distintas: la cuerda es el atajo recto a través, el arco es el camino a lo largo del círculo.

¿Cómo funciona la calculadora?

La cuerda, los dos radios trazados hasta sus extremos y la perpendicular bajada desde el centro forman dos triángulos rectángulos congruentes. La mitad de la cuerda, el radio y la mitad del ángulo central satisfacen

que se reordena en las fórmulas que utiliza la calculadora.

Fórmulas

Cuerda a partir del radio y el ángulo central:

Radio a partir de la cuerda y el ángulo central:

Ángulo central a partir de la cuerda y el radio:

En grados, sustituye $\theta$ por $\theta_{\text{deg}} \cdot \frac{\pi}{180}$, o lee el ángulo directamente de la calculadora tras cambiar el selector de unidades.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: cuerda a partir del radio y el ángulo

Un círculo tiene un radio de 10 cm y un ángulo central de 60°. La cuerda recortada por ese ángulo es

Esta es la conocida identidad de que la cuerda de un ángulo de 60° es igual al radio — el triángulo formado es equilátero.

Ejemplo 2: cuerda igual al diámetro a 180°

Para un radio de 5 m y un ángulo central de 180° (o $\pi$ radianes), la cuerda se extiende a lo largo de todo el círculo:

Este es el diámetro del círculo.

Ejemplo 3: radio a partir de la cuerda y el ángulo

Una cuerda de 10 cm de largo es recortada por un ángulo central de 60°. El radio del círculo es

Ejemplo 4: ángulo a partir de la cuerda y el radio

Se traza una cuerda de 10 cm de largo en un círculo de radio 10 cm. El ángulo central es

Ejemplo 5: cuerda de un cuarto de círculo

Para un ángulo de 90° en un círculo de radio 1, la cuerda es $c = 2 \sin(45°) = \sqrt{2} \approx 1.4142$, mientras que la longitud del arco del mismo ángulo es $\pi/2 \approx 1.5708$. El arco es siempre ligeramente más largo que la cuerda.

Usos prácticos

• Ingeniería — disposición de correas y poleas, donde la distancia en línea recta entre los puntos de contacto de dos ruedas es una cuerda de cada rueda.
• Arquitectura y carpintería — medición a través de un arco o una ventana curva, donde la cuerda da la luz y la longitud del arco da el material necesario a lo largo de la curva.
• Topografía — fijar posiciones sobre el terreno a partir de puntos de referencia circulares; las mediciones de cuerda son más fáciles de marcar que los arcos.
• Astronomía — cálculo del diámetro aparente de cuerpos lejanos, donde la cuerda a través de una sección transversal circular corresponde a la extensión observada.
• Geometría y trigonometría — la relación cuerda/ángulo es una de las definiciones originales de la función seno y todavía aparece en los cálculos de sector circular y segmento.

Notas

• La cuerda nunca puede ser más larga que el diámetro ($c \le 2r$). Si introduces una cuerda más larga que eso, el ángulo queda indefinido y la calculadora no devuelve ningún resultado.
• Un ángulo de 0° produce una cuerda de 0 — los extremos coinciden.
• Un ángulo de 180° produce el diámetro; los ángulos mayores de 180° se enrollan y producen la misma cuerda que su suplemento (por ejemplo, 200° y 160° dan cuerdas idénticas).
• Al resolver para el radio a partir de una cuerda y un ángulo, el ángulo no puede ser 0; al resolver para el ángulo, el radio no puede ser 0.
• El radio y la cuerda comparten unidades: cambiar el selector de unidades reconvierte el resultado automáticamente.