Calculadora de producto vectorial

¿Qué es una calculadora de producto vectorial?

Una calculadora de producto vectorial halla el vector que resulta de multiplicar dos vectores tridimensionales mediante el producto vectorial (o producto cruz). A diferencia del producto escalar, que devuelve un único número, el producto vectorial devuelve un nuevo vector. Ese vector es perpendicular a ambos vectores originales y su longitud es igual al área del paralelogramo que generan.

Dados dos vectores $\mathbf{a} = (a_x, a_y, a_z)$ y $\mathbf{b} = (b_x, b_y, b_z)$, esta herramienta devuelve las tres componentes de $\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$.

Fórmula

El producto vectorial se define componente a componente como:

Así que las tres componentes de salida son:

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x$

Cómo usarla

1. Introduce las tres componentes del vector $\mathbf{a}$: $a_x$, $a_y$ y $a_z$.
2. Introduce las tres componentes del vector $\mathbf{b}$: $b_x$, $b_y$ y $b_z$.
3. Una vez rellenos los seis valores, la calculadora muestra $c_x$, $c_y$ y $c_z$ — las componentes del vector resultante $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$.

Los valores negativos son totalmente compatibles. El orden importa: $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})$, así que intercambiar los dos vectores cambia el signo de cada componente.

Ejemplo resuelto

Toma $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$ y $\mathbf{b} = (4, 5, 6)$.

• $c_x = a_y b_z - a_z b_y = 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3$
• $c_y = a_z b_x - a_x b_z = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6 = 12 - 6 = 6$
• $c_z = a_x b_y - a_y b_x = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3$

Así que $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (-3, 6, -3)$.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el producto vectorial es un vector mientras que el producto escalar es un número?

El producto escalar mide cuánto apuntan dos vectores en la misma dirección, lo que es una única cantidad escalar. El producto vectorial, en cambio, mide el área orientada que generan y apunta en una dirección perpendicular a ambos, así que naturalmente necesita tres componentes para describir tanto esa magnitud como esa dirección.

¿Qué significa que el producto vectorial sea el vector nulo?

Si $\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (0, 0, 0)$, los dos vectores son paralelos (o uno de ellos es el vector nulo). Los vectores paralelos no generan área, así que el resultado perpendicular se reduce a nada.