Calculadora de reglas de divisibilidad

¿Qué es una calculadora de reglas de divisibilidad?

Una calculadora de reglas de divisibilidad toma un único número entero $N$ y te indica, de un vistazo, por qué divisores pequeños es divisible. Esta herramienta comprueba cada divisor del 2 al 12 y responde Sí o No para cada uno. Un número es divisible por $d$ cuando la división no deja resto — es decir, cuando $N$ puede escribirse como $d$ multiplicado por otro número entero.

La divisibilidad es una de las ideas más útiles de la aritmética. Te permite simplificar fracciones, encontrar factores comunes, detectar números primos y repartir cantidades en grupos iguales sin hacer una división larga cada vez.

¿Qué significa “divisible”?

Decimos que $N$ es divisible por $d$ cuando el resto de la división es cero:

$$N \bmod d = 0$$

De forma equivalente, existe un número entero $k$ tal que:

$$N = d \times k$$

Por ejemplo, 60 es divisible por 12 porque $60 = 12 \times 5$, sin dejar resto. En cambio, 60 no es divisible por 7, porque $60 = 7 \times 8 + 4$ — queda un resto de 4.

Como $0 \bmod d = 0$ para todo $d$ distinto de cero, el número 0 es divisible por todos los divisores. La calculadora trata el 0 como una entrada válida y responde Sí en toda la cuadrícula.

¿Cómo funciona la calculadora?

Escribes un número entero y la calculadora aplica una regla de divisibilidad conocida para cada divisor del 2 al 12. Cada regla es un atajo que evita la división completa fijándose solo en los dígitos del número.

Divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2 cuando es par — su último dígito es 0, 2, 4, 6 u 8. Ejemplo: 60 termina en 0, así que es divisible por 2.

Divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es divisible por 3. Para 60: $6 + 0 = 6$, y 6 es divisible por 3, así que 60 es divisible por 3.

Divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4 cuando el número formado por sus dos últimos dígitos es divisible por 4. Para 60, los dos últimos dígitos forman 60, y $60 = 4 \times 15$, así que 60 es divisible por 4.

Divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5 cuando su último dígito es 0 o 5. Ejemplo: 60 termina en 0, así que es divisible por 5.

Divisibilidad por 6

Un número es divisible por 6 cuando es divisible tanto por 2 como por 3. Como 60 pasa las pruebas del 2 y del 3, es divisible por 6.

Divisibilidad por 7

Toma el último dígito, duplícalo y réstalo del resto del número. Si el resultado es divisible por 7, también lo es el original. Para 91: quita el 1, duplícalo para obtener 2, luego $9 - 2 = 7$. Como 7 es divisible por 7, también lo es 91 — de hecho $91 = 7 \times 13$.

Divisibilidad por 8

Un número es divisible por 8 cuando el número formado por sus tres últimos dígitos es divisible por 8. Para números con menos de tres dígitos, simplemente comprueba el número completo.

Divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es divisible por 9. Para 60: $6 + 0 = 6$, que no es divisible por 9, así que 60 no es divisible por 9.

Divisibilidad por 10

Un número es divisible por 10 cuando su último dígito es 0. Ejemplo: 60 termina en 0, así que es divisible por 10.

Divisibilidad por 11

Suma y resta los dígitos en un patrón alterno (de derecha a izquierda) y comprueba si el resultado es divisible por 11 (el cero cuenta como divisible). Para 121: $1 - 2 + 1 = 0$, así que 121 es divisible por 11.

Divisibilidad por 12

Un número es divisible por 12 cuando es divisible tanto por 3 como por 4. Como 60 pasa las pruebas del 3 y del 4, es divisible por 12.

Fórmula

La prueba general para cualquier divisor $d$ se basa en la operación módulo (resto):

$$N \text{ is divisible by } d \iff N \bmod d = 0$$

Muchas reglas se apoyan en el hecho de que un número es congruente con una combinación sencilla de sus dígitos. Para las reglas de suma de dígitos (3 y 9), si $N$ tiene dígitos $a_i$, entonces:

$$N \equiv \sum_i a_i \pmod{9}$$

de modo que $N$ es divisible por 3 o por 9 exactamente cuando lo es su suma de dígitos. Para el 11, se aplica la suma alterna porque $10 \equiv -1 \pmod{11}$:

$$N \equiv \sum_i (-1)^i a_i \pmod{11}$$

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: N = 60

• Divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 10 y 12 → Sí
• Divisible por 7, 8, 9 y 11 → No

El número 60 es altamente compuesto, que es precisamente la razón por la que los calendarios, los relojes y los sistemas de medida lo prefieren: se divide de forma exacta en mitades, tercios, cuartos, quintos, sextos y doceavos.

Ejemplo 2: N = 91

• Divisible por 7 → Sí (porque $91 = 7 \times 13$)
• Divisible por 2 → No (91 es impar)
• Divisible por 3 → No (la suma de dígitos $9 + 1 = 10$ no es divisible por 3)

Ejemplo 3: N = 0

El cero es divisible por todos los divisores, ya que $0 \bmod d = 0$ para cada $d$. La calculadora responde Sí para todos los números del 2 al 12.

Notas prácticas

• Las reglas se aplican a números enteros. Los números negativos siguen las mismas reglas que sus valores absolutos — por ejemplo, −60 se comporta como 60.
• Las reglas de divisibilidad son la forma más rápida de reducir una fracción a su mínima expresión: encuentra un divisor que divida tanto al numerador como al denominador, y cancélalo.
• Para encontrar todos los divisores de un número en lugar de comprobar solo del 2 al 12, usa la Calculadora de factores.
• Para combinar varios números, la Calculadora del mínimo común múltiplo y la Calculadora del máximo común divisor se basan directamente en la divisibilidad.

Preguntas frecuentes

¿Es todo número divisible por 1?

Sí. Todo número entero es divisible por 1 y por sí mismo, razón por la cual la cuadrícula de divisibilidad empieza en 2 — el primer divisor no trivial.

¿Por qué 0 es divisible por todos los números?

Porque $0 \bmod d = 0$ para cada divisor $d$ distinto de cero: dividir 0 entre cualquier número no deja resto. Ten en cuenta que la división entre 0 no está definida, razón por la cual 0 nunca aparece como divisor.

¿Existe una única regla para la divisibilidad por 6 o por 12?

No hay un truco de dígitos propio — se combinan reglas más sencillas. Un número es divisible por 6 cuando pasa las pruebas del 2 y del 3, y divisible por 12 cuando pasa las pruebas del 3 y del 4.