Calculadora de MCD (Máximo Común Divisor)

¿Qué es el máximo común divisor?

El máximo común divisor (MCD), también llamado máximo factor común, es el mayor número entero positivo que divide a todos los números de un conjunto dado sin dejar resto. Por ejemplo, el MCD de 12 y 18 es 6, porque 6 es el mayor número que divide a 12 y a 18 de forma exacta.

Esta calculadora encuentra el MCD de dos o más números enteros positivos. Además, también muestra el mínimo común múltiplo (MCM): el menor número entero positivo que es múltiplo de todos los números del conjunto.

¿Cómo funciona la calculadora?

Introduce tus números en las filas repetibles — añade tantas como necesites. La calculadora ignora las filas en blanco y requiere al menos dos números para dar un resultado. Luego aplica el algoritmo de Euclides a toda la lista para obtener el MCD, y usa ese resultado para calcular el MCM.

El algoritmo de Euclides encuentra el MCD de dos números reemplazando repetidamente el número mayor por el resto de dividir el mayor entre el menor, hasta que el resto sea cero. El último valor distinto de cero es el MCD. Para tratar una lista completa, el MCD se calcula por pares: mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c), y así sucesivamente.

Fórmulas

El MCD de una lista de números se calcula plegando el MCD por pares:

$\text{GCF}(a_1, a_2, \ldots, a_n) = \gcd(\ldots\gcd(\gcd(a_1, a_2), a_3)\ldots, a_n)$

El MCM de dos números se deduce directamente de su MCD:

$\text{lcm}(a, b) = \frac{a \times b}{\gcd(a, b)}$

Ejemplos resueltos

1. Dos números: $\gcd(12, 18) = 6$ y $\text{lcm}(12, 18) = 36$. Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12 y los de 18 son 1, 2, 3, 6, 9, 18; el mayor divisor que comparten es 6.

2. Tres números: $\gcd(8, 12, 16) = 4$. Cada uno de 8, 12 y 16 es divisible entre 4, y nada mayor divide a los tres.

3. Números coprimos: $\gcd(7, 13) = 1$. Tanto 7 como 13 son primos, por lo que no comparten ningún divisor común salvo el 1 — son coprimos.

4. Conjunto mayor: $\gcd(100, 75, 50) = 25$. El número 25 divide a los tres, mientras que 50 no divide a 75.

Notas prácticas

• Simplificar fracciones: Dividir el numerador y el denominador por su MCD reduce una fracción a su mínima expresión. Consulta la calculadora para simplificar fracciones.
• Sumar fracciones: El MCM de los denominadores da el mínimo común denominador, lo que facilita sumar fracciones — útil junto con la calculadora de suma.
• Solo números enteros positivos: El MCD se define para números enteros. Los decimales y los signos negativos no tienen sentido aquí, por lo que no se esperan entradas no enteras.
• mcd(a, 0) = a: Por convención, el máximo común divisor de cualquier número y cero es el propio número, lo que mantiene el cálculo bien definido cuando aparecen ceros.