Calculadora de la ley de cosenos

¿Qué es una calculadora de la ley de cosenos?

La calculadora de la ley de cosenos resuelve un triángulo cuando conoces dos de sus lados y el ángulo entre ellos (el caso «lado-ángulo-lado»). Introduces el lado $a$, el lado $b$ y el ángulo comprendido $C$, y la calculadora devuelve la longitud del tercer lado $c$ junto con los dos ángulos restantes $A$ y $B$.

La ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras. Cuando el ángulo comprendido es exactamente $90°$, el término del coseno se anula y la fórmula se reduce a $c^2 = a^2 + b^2$, la conocida relación de un triángulo rectángulo.

¿Cómo funciona?

El tercer lado se obtiene directamente de la ley de cosenos:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

Tomando la raíz cuadrada se obtiene $c$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}$

Una vez conocidos los tres lados, el ángulo opuesto al lado $a$ se recupera reordenando la misma ley:

$A = \arccos\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$

Como los tres ángulos interiores de cualquier triángulo suman $180°$, el último ángulo se obtiene de inmediato:

$B = 180° - A - C$

El ángulo comprendido $C$ debe estar estrictamente entre $0°$ y $180°$, y ambos lados dados deben ser positivos, para que el triángulo exista.

Ejemplos resueltos

Triángulo rectángulo. Con $a = 3$, $b = 4$ y $C = 90°$, el término del coseno desaparece, por lo que $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Los ángulos restantes son $A \approx 36.8699°$ y $B \approx 53.1301°$, recuperando el clásico triángulo 3-4-5.

Triángulo oblicuo. Con $a = 5$, $b = 7$ y $C = 60°$, obtenemos $c = \sqrt{5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60°} = \sqrt{25 + 49 - 35} = \sqrt{39} \approx 6.2450$.

Notas prácticas

La ley de cosenos resulta más útil cuando la ley de senos no puede iniciar una solución, en concreto en los casos lado-ángulo-lado y lado-lado-lado, donde no se conocen juntos un lado y su ángulo opuesto. Topógrafos, navegantes e ingenieros la usan para calcular distancias a través de una línea base cuando solo pueden medirse dos lados y el ángulo entre ellos.

Si en cambio conoces dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo no comprendido, la ley de senos es la herramienta más directa. Para el caso especial del triángulo rectángulo también puedes usar la calculadora de hipotenusa, y para evaluar el coseno del ángulo comprendido por sí solo, consulta la calculadora de trigonometría.